Le formule di bisezione servono per calcolare il seno, coseno o tangente della metà di un angolo noto ([i]bi - secare[/i] significa tagliare in due).[br][br]Dato che dimezzare e raddoppiare sono strettamente legati, essendo uno l'opposto dell'altro, partiamo dalle formule di duplicazone, in particolare quelle del coseno in quanto offrono degli elementi più [i]maneggevoli[/i]:[br][br][math]\Large{\cos(2\alpha) = \cos^2 (\alpha)- \sin^2 (\alpha)}[/math][br][br]Se [math]\large{2\alpha}[/math] è il doppio di [math]\large{\alpha}[/math], [math]\large{\alpha}[/math] è la [i]metà[/i] di [math]\large{2\alpha}[/math]. Chiamiamo quindi [math]\large{2\alpha} = \textcolor{red}{\beta}[/math], e dividendo per due otteniamo che [math]\large{\alpha} = \textcolor{red}{\frac{\beta}{2}}[/math] ; sostituendo otteniamo[br][br][math]\Large{\cos(\textcolor{red}{\beta}) = \cos^2 \left (\textcolor{red}{\frac{\beta}{2}}\right )- \sin^2 \left [br] (\textcolor{red}{\frac{\beta}{2}}\right )}\qquad \qquad (1)[/math][br][br]A questo punto non ci resta che applicare la legge fondamentale per far rimanere una volta [math]\large{\cos^2 \left (\textcolor{red}{\frac{\beta}{2}}\right )}[/math] e l'altra solo [math]\large{\sin^2 \left (\textcolor{red}{\frac{\beta}{2}}\right )}[/math]. Iniziamo da quest'ultimo[br][br][math]\Large{\cos(\textcolor{red}{\beta}) = \textcolor{blue}{1- \sin^2 \left [br] (\textcolor{red}{\frac{\beta}{2}}\right )}- \sin^2 \left [br] (\textcolor{red}{\frac{\beta}{2}}\right )}[/math][br][br]Svolgendo i calcoli ed isolando [math]\large{\sin^2 \left (\textcolor{red}{\frac{\beta}{2}}\right )}[/math] otteniamo[br][br][math]\Large {\sin ^2 \left (\frac{\beta}{2}\right ) = \frac{1-\cos \beta}{2}\quad \rightarrow \quad \sin \left (\frac{\beta}{2}\right ) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \beta}{2}}}[/math][br][br]In modo analogo elaborando la formula [math]\Large{(1)}[/math] in modo che vi rimanga solo [math]\large{\cos^2 \left (\textcolor{red}{\frac{\beta}{2}}\right )}[/math] si ottiene [br][br][math]\Large {\quad \cos \left (\frac{\beta}{2}\right ) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \beta}{2}}}[/math][br][br]Purtroppo il significato di quel [math]\Large{\pm}[/math] NON è che possiamo scegliere uno dei due segni, ma che [b][color=#ff0000]NON SAPPIAMO quale sia quello giusto[/color][/b]. Per questa ragione [color=#ff0000][b]le formule di bisezione sono particolarmente SCOMODE, a meno che [math]\large{\sin \left (\frac{\beta}{2}\right )}[/math] o [math]\large{\cos \left (\frac{\beta}{2}\right )}[/math] non compaiano elevati al quadrato[/b][/color], nel qual caso si ha il doppio effetto di far sparire sia la radice che il doppio segno (che al quadrato diventerà comunque un [math]\Large{+}[/math]).[br][br]Nell'animazione di seguito spieghiamo, prima con un esempio numerico e poi con delle considerazioni più generali, come mai queste formule "non riescono a decidere" il segno del loro risultato.

Vediamo ora alcuni esempi di applicazione delle formule, verificando quando la questione del segno costituisce un problema e quando non lo è.[br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO 1: calcola il coseno di 15° e di 165°[br][/color][/b]15° è la metà di 30°, e sappiamo che il [math]\large{\cos(30°)=\frac{\sqrt{3}}{2}}[/math]; applichiamo quindi le formule di bisezione con questi angoli:[br][br][math]\large{\cos (15°) = \cos \left (\frac{\textcolor{red}{30°}}{2}\right ) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos (\textcolor{red}{30°})}{2}}= \pm \sqrt{\frac{1+\textcolor{red}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{2}}= \cdots = \pm \sqrt{ \frac{2+\sqrt{3}}{4} } }[/math][br][br][color=#ff0000]Dato che in questo caso [b]SAPPIAMO che stiamo parlando di 15°[/b][/color], POSSIAMO DIRE che il suo coseno è positivo (è nel primo quadrante), quindi scegliamo il segno giusto[br][br][math]\large{\cos (15°) = + \sqrt{ \frac{2+\sqrt{3}}{4} } }[/math][br][br][b]Vediamo ora come va con 165°[br][/b][br]165° è la metà di 330°, che è 360° - 30° , quindi è un arco associato di 30°. Dalla figura vediamo che ha lo stesso coseno di 30°.[br][br]

Abbiamo quindi che [math]\large{\cos(330°)= \cos(30°)=\frac{\sqrt{3}}{2}}[/math]; quando applichiamo di nuovo le formule di bisezione otterremo lo stesso risultato di prima:[br][br][math]\large{\cos (165°) = \cos \left (\frac{\textcolor{red}{330°}}{2} \right )= \cos \left (\frac{\textcolor{red}{330°}}{2}\right ) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos (\textcolor{red}{30°})}{2}}= \pm \sqrt{\frac{1+\textcolor{red}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{2}}= \cdots = \pm \sqrt{ \frac{2+\sqrt{3}}{4} } }[/math][br][br][color=#ff0000]Ovviamente abbiamo lo stesso risultato, incluso il doppio segno, e [b] SOLO PERCHE' SAPPIAMO che stiamo parlando di 165°[/b][/color], POSSIAMO DIRE che il suo coseno è negativo (è nel secondo quadrante), e scegliere il segno giusto[br][br][math]\large{\cos (165°) = - \sqrt{ \frac{2+\sqrt{3}}{4} } }[/math][br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO 2: un'equazione risolubile con le formule di bisezione[br][/color][/b]Consideriamo la seguente equazione[br][math]\large{\cos x -\sin^2 \left (\frac{x}{2} \right )= 1 }[/math][br][br]Notiamo che le due funzioni goniometriche hanno come argomento due angoli diversi; per prima cosa dobbiamo fare in modo che l'angolo incognito sia sempre lo stesso: o [math]\large{x}[/math] oppure [math]\large{\frac{x}{2}}[/math]. Poiché il [math]\large{\textcolor{red}{\sin \left (\frac{x}{2} \right )}}[/math] compare elevato al quadrato, possiamo sostituire la relativa formula di bisezione, dato che spariranno sia il doppio segno che la radice.[br][br][math]\large{\cos x -\left ( \textcolor{red}{\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}} \right )^2 = 1 \qquad \rightarrow \qquad \cos x - \frac{1-\cos x}{2} = 1 }[/math][br][br]A questo punto tutte le funzioni goniometriche presenti nell'equazione hanno come incognita l'angolo [math]\large{x}[/math], e quindi possono essere combinate tra loro per risolvere l'equazione: svolgiamo i calcoli e risolviamo.[br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO 3: un'equazione che NON conviene risolvere con le formule di bisezione[/color][/b][br]Consideriamo la seguente equazione[br][math]\large{\cos x -\sin \left (\frac{x}{2} \right )= 1 }[/math][br][br]L'equazione è molto simile alla precedente, ma questa volta [math]\large{\sin\left (\frac{x}{2} \right )}[/math] NON è elevato al quadrato; ne consegue che se al suo posto sostituiamo la relativa formula di bisezione NON spariranno né il doppio segno né la radice, ed otterremo un'equazione molto scomoda da risolvere[br][br][math]\large{\cos x -\left ( \textcolor{red}{\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}} \right ) = 1 \qquad \rightarrow \qquad \cos x \mp \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}} = 1 \qquad \rightarrow \qquad ???}[/math][br][br]Conviene allora lasciar stare [math]\large{\sin \left (\frac{x}{2} \right )}[/math] e lavorare sul [math]\large{\cos x}[/math]. [br][br]Se definiamo [math]\large{\textcolor{blue}{\alpha = \frac{x}{2}}}[/math] (e di conseguenza [math]\large{\textcolor{blue}{x = 2\cdot \alpha}}[/math]) possiamo sostituire [math]\large{\alpha}[/math] al posto di [math]\large{x}[/math] nell'equazione:[br][br][math]\large{\cos x -\sin \left (\frac{x}{2} \right )= 1 \qquad \rightarrow \qquad \cos \left ( 2 \cdot \textcolor{blue}{\alpha} \right ) -\sin \textcolor{blue}{\alpha}= 1}[/math][br][br]In altre parole al posto di dire che [math]\large{\frac{x}{2}}[/math] è la metà di [math]\large{x}[/math], stiamo dicendo dire che [math]\large{x}[/math] è il [b]doppio[/b] di [math]\large{\frac{x}{2}}[/math], così possiamo usare ora le [color=#38761d][b]formule di DUPLICAZIONE[/b][/color], che sono più semplici di quelle di bisezione, per risolvere [math]\large{\textcolor{#007700}{\cos \left ( 2 \cdot \textcolor{blue}{\alpha} \right )}}[/math]:[br][br][math]\large{\textcolor{#007700}{\cos^2 \textcolor{blue}{\alpha} - \sin^2 \textcolor{blue}{\alpha}} -\sin \textcolor{blue}{\alpha}= 1}[/math][br][br]A questo punto in tutta l'equazione c'è sempre lo stesso angolo, [math]\large{\textcolor{blue}{\alpha}}[/math]; ci resta solo da trasformare l'unico [math]\large{\textcolor{red}{\cos^2 \textcolor{blue}{\alpha}}}[/math] presente in [math]\large{\sin^2 \textcolor{blue}{\alpha}}[/math] tramite la [b][color=#ff0000]prima legge fondamentale[/color][/b]:[br][br][math]\large{\textcolor{red}{1- \sin^2 \textcolor{blue}{\alpha}} - \sin^2 \textcolor{blue}{\alpha} -\sin \textcolor{blue}{\alpha}= 1}[/math][br][br]che svolgendo i conti diventa:[br][br][math]\large{-2\sin^2 \textcolor{blue}{\alpha} -\sin \textcolor{blue}{\alpha}= 0}[/math][br][br]Abbiamo ottenuto un'equazione di secondo grado rispetto a [math]\large{\sin \textcolor{blue}{\alpha}}[/math]. Dato che è scomparso il termine noto in questo caso possiamo scomporre raccogliendo [math]\large{\sin \textcolor{blue}{\alpha}}[/math] ed applicare la legge di annullamento (altrimenti avremmo dovuto applicare la formula). [br][br][math]\large{-\sin \textcolor{blue}{\alpha} \mathbf{\textcolor{red}{\cdot}} (2\sin \textcolor{blue}{\alpha} +1)= 0}[/math][br][br]Il primo fattore è nullo quando [math]\large{\sin \textcolor{blue}{\alpha}=0}[/math], cioè (vai sul cerchio per verificarlo) quando [math]\large{\textcolor{blue}{\alpha}=k\pi}[/math]. [br][br][b][color=#ff0000]DOBBIAMO RICORDARCI DI TROVARE [math]\large{x}[/math], NON BASTA TROVARE [math]\large{\textcolor{blue}{\alpha}}[/math][/color][/b]. Recuperando la sostituzione che abbiamo fatto abbiamo [br][br][math]\large{\textcolor{blue}{\alpha} = \frac{x}{2} =k\pi }[/math][br][br]Da cui moltiplicando per [math]\large{2}[/math] abbiamo [math]\large{x=2k\pi }[/math]. [br][br][b][color=#ff0000]Allo stesso modo dobbiamo trovare i risultati per [math]\large{\textcolor{blue}{\alpha}}[/math] annullando il secondo fattore, e da questi ottenere i corrispondenti valori per [math]\large{x}[/math][/color][/b].[br][br] [br][br]