[size=85]Für 4 verschiedene Punkte, dargestellt in einem beliebigen euklidischen Koordinatensystem [/size][math]\mathbf\vec{p}_i=\mathbf\vec{p}\left(z_i\right),i=1,...,4[/math][size=85], gilt [/size][br] [math]\mathbf\vec{p}_i\bullet\mathbf\vec{p}_i = \frac{1}{2}\cdot\left(z_i-z_j\right)^2[/math][size=85]. Für das Doppelverhältnis[/size] [math]d=DV\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)=\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}\cdot\frac{z_2-z_4}{z_1-z_4}[/math][size=85] folgt daraus:[/size][br][list][*] [math]d^2=\frac{\mathbf\vec{p}_1\bullet\mathbf\vec{p}_3}{\mathbf\vec{p}_2\bullet\mathbf\vec{p}_3}\cdot\frac{\mathbf\vec{p}_2\bullet\mathbf\vec{p}_4}{\mathbf\vec{p}_1\bullet\mathbf\vec{p}_4}[/math] [size=85] und [/size] [math]2 d-1=\frac{\left[\,\mathbf\vec{p}_2\,,\,\mathbf\vec{p}_3\,\right]\bullet\left[\,\mathbf\vec{p}_4\,,\,\mathbf\vec{p}_1\,\right]}{\mathbf\vec{p}_2\bullet \mathbf\vec{p}_3\cdot\mathbf\vec{p}_4\bullet \mathbf\vec{p}_1}[/math][/*][/list][size=85]Begründung für die 2. Gleichung: wegen[/size] [math]Dv\left(\mathbf\vec{p}_1,\mathbf\vec{p}_3,\mathbf\vec{p}_2,\mathbf\vec{p}_4\right)=1-Dv\left(\mathbf\vec{p}_1,\mathbf\vec{p}_2,\mathbf\vec{p}_3,\mathbf\vec{p}_4\right)[/math] [size=85]erhält man durch Quadrieren[/size][br]  [math]2d-1=\frac{\mathbf\vec{p}_1\bullet\mathbf\vec{p}_3}{\mathbf\vec{p}_2\bullet\mathbf\vec{p}_3}\cdot\frac{\mathbf\vec{p}_2\bullet\mathbf\vec{p}_4}{\mathbf\vec{p}_1\bullet\mathbf\vec{p}_4}-\frac{\mathbf\vec{p}_1\bullet\mathbf\vec{p}_2}{\mathbf\vec{p}_3\bullet\mathbf\vec{p}_2}\cdot\frac{\mathbf\vec{p}_3\bullet\mathbf\vec{p}_4}{\mathbf\vec{p}_1\bullet\mathbf\vec{p}_4}[/math][br][size=85]Mit Hilfe der Entwicklungsregel folgt die 2. Gleichung.[br]Für die normierten Verbindungsgeradenvektoren [math]\mathbf\dot{\vec{g}}_{ij}=\frac{\left[\,\mathbf\vec{p}_i\,,\,\mathbf\vec{p}_j\,\right]}{\mathbf\vec{p}_i\cdot \mathbf\vec{p}_j}\ , i \ne j ,[/math] (s.S. zuvor) gelten die Gleichungen:[br][/size][list][*] [math]\mathbf\dot{\vec{g}}_{12}\bullet \mathbf\dot{\vec{g}}_{34} =\frac{d+1}{d-1} [/math][br][/*][*] [math]\mathbf\dot{\vec{g}}_{23}\bullet \mathbf\dot{\vec{g}}_{41} =2d-1[/math][br][/*][*] [math]\mathbf\dot{\vec{g}}_{13}\bullet \mathbf\dot{\vec{g}}_{24} =\frac{d-2}{d} [/math][/*][/list][size=85]Hiermit wird [i][b]die[/b][/i] absolute Invariante der 4 Punkte definiert:[/size][br][list][*]  [math]\mathbf{J}\left(\mathbf\vec{p}_1,\mathbf\vec{p}_2,\mathbf\vec{p}_3,\mathbf\vec{p}_4\right):=\frac{1}{27}\cdot\left(\frac{d+1}{d-1}\right)^2\cdot\left(\frac{d-2}{d}\right)^2\cdot\left(2d-1\right)^2[/math][br][/*][/list][size=85]Diese ist unabhängig von der Reihenfolge der Punkte.[br]Die Menge der 6 relativen Invarianten [/size][math]j_{1/2}=\pm\frac{d+1}{d-1},\,\,j_{3/4}=\pm\frac{d-2}{d},\,\,j_{5/6}=\pm\left(2d-1\right)[/math] [size=85]ist [br]invariant unter der endlichen Gruppe von involutorischen Möbiustranformationen [br] {[/size] [math]\pm \mathbf{id},\pm A, \pm B [/math][size=85] } mit [/size][math]A\left(z\right)=\frac{3+z}{z-1}[/math] [size=85]und [/size][math]B\left(z\right)=\frac{3-z}{z+1}[/math].[br][size=85]Für jede der 6 Invarianten gilt:[/size][br]  [math]27\cdot \mathbf{J}=j^2\cdot\left(\frac{3+j}{j-1}\right)^2\cdot\left(\frac{3-j}{j+1}\right)^2=j^2\cdot\left(\frac{9-j^2}{j^2-1}\right)^2[/math][br][size=85]Dies ergibt eine kubische Gleichung in[/size] [math]j^2[/math][size=85], welche für reelles[/size] [math]\mathbf{J}[/math] [size=85]nur reelle Koefizienten besitzt. [br]Von den Lösungen[/size] [math]j^2[/math] [size=85]der kubischen Gleichung ist dann mindestens eine reell und [br]die beiden anderen konjugiert komplex oder auch reell..[br][/size][list][*] [math]\mathbf{J}\ge0[/math] [size=85]gilt genau dann, wenn d reell ist, also genau dann, wenn die Punkte konzyklisch sind.[/size][br][/*][*] [math]\mathbf{J}\le0[/math] [size=85]ist genau dann erfüllt, wenn[/size] [math]j\in i\mathbb{R}[/math] [size=85]für eine der 6 relativen Invarianten gilt, d.h. genau dann, [br]wenn 2 der möglichen Punktepaare spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen liegen. [br][/size][/*][/list][size=85]Wenn beides gilt ( [/size][math]\mathbf{J}=0[/math] [size=85]), so trennen sich 2 der Punktepaare harmonisch. [br][u][i]Zum Fall[/i][/u] [math]\mathbf{J}\le0[/math]: [math]\frac{d+1}{d-1}\in i\mathbb{R}[/math] gilt genau dann, wenn [math]|d|=1[/math]. Dies folgt aus dem Satz von Thales![br][br][u][i][b]Tetraeder-Fall:[/b][/i][/u] [math]\mathbf{J}=-1[/math], für jede der 6 relativen Invarianten [math]j[/math] ist [math]j^2=-3[/math], [br]für alle möglichen Doppelverhältnisse folgt daraus [br] [math]\large d=e^{i\frac{\pi}{3}}[/math] oder [math]\large d=e^{-i\frac{\pi}{3}}[/math]. [br]Die Punkte sind die Ecken eines Tetraeders auf der Kugel![/size]

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