Dopo aver eliminato gli assi cartesiani [tasto destro mouse su finestra grafica: [i]Assi[/i]] e attivato la griglia [tasto destro mouse su finestra grafica: [i]Griglia[/i]] iniziamo.[br][br][Puoi utilizzare il foglio qui sotto oppure aprire un foglio tramite la tua app o il software che hai scaricato][br]
[list=1][*]Tracciamo una circonferenza sul piano: disegniamo un punto sul piano che sarà il nostro centro [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon] e rinominiamolo con O (tasto destro sul punto: [i]Rinomina[/i]]. Tracciamo una circonferenza di centro O e per un punto a piacere [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon]; rinominiamo tale punto con C.[br][/*][*]Disegniamo due punti esterni alla circonferenza [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon] che rinomineremo con P e Q. Tracciamo la retta per P e Q [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon][/*][*]Muoviamo [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon] il punto Q in modo che la retta incontri la circonferenza in due punti. Individuiamo tali [b]punti di intersezione[/b] con il [i]comando intersezione[/i] [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon]. Rinominiamo tali punti con A e B. [/*][*]Muoviamo il punto Q [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon] e osserviamo il comportamento dei punti A e B.[/*][/list]
Una retta è [b]esterna[/b] quando
Una retta è [b]tangente [/b]quando
Una retta è [b]secante [/b]quando
Proviamo adesso a caratterizzare in altro modo il fatto che la retta è [b]esterna, tangente o secante.[br][/b]Utilizzeremo il foglio creato precedentemente.
[list=1][*] Sempre utilizzando il foglio costruito sopra, misuriamo il raggio della nostra circonferenza. Utilizziamo il comando [icon]/images/ggb/toolbar/mode_distance.png[/icon]distanza [che troviamo nel menù degli angoli]: scegliamo il punto O e il punto C.[/*][*]Ora misuriamo la distanza della retta dal centro O della circonferenza. Utilizziamo lo stesso comando [icon]/images/ggb/toolbar/mode_distance.png[/icon] scegliendo il centro O e la retta r.[/*][*] Muoviamo [icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon]la retta spostando Q. Cosa possiamo osservare riguardo alla distanza della retta da O rispetto al raggio?[/*][/list][br][br]
[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Discussion.png/320px-Discussion.png[/img][b]Teorema[br][/b]Se la retta r è [b]esterna [/b]alla circonferenza allora la distanza della retta dal centro O della circonferenza è
[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Discussion.png/320px-Discussion.png[/img][b]Teorema[br][/b]Se la retta r è [b]tangente [/b]alla circonferenza allora la distanza della retta dal centro O della circonferenza è
[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Discussion.png/320px-Discussion.png[/img][b]Teorema[br][/b]Se la retta r è [b]tangente [/b]alla circonferenza allora la distanza della retta dal centro O della circonferenza è
[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Discussion.png/320px-Discussion.png[/img][b]Teorema[br][/b]Se la retta r è [b]tangente [/b]alla circonferenza allora la distanza della retta dal centro O della circonferenza è
[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Discussion.png/320px-Discussion.png[/img][b]Teorema[br][/b]Se la retta r è [b]secante [/b]alla circonferenza allora la distanza della retta dal centro O della circonferenza è
Dunque abbiamo visto che se la retta è [b]tangente/secante/esterna[/b] allora la sua distanza dal centro O è [math]=,<,>[/math] del raggio della circonferenza.[br][br]Vediamo ora il [u]viceversa[/u]: se la distanza della retta da O è [math]=,<,>[/math] allora .................
Ripartiamo dal nostro foglio:
[b]Ricordiamo[/b] cosa è la distanza di una retta da un punto: [i][u]è il segmento perpendicolare alla retta che ha per estremi il punto e un punto della retta.[/u][/i][br][br][list=1][*]Costruiamo questo segmento con Geogebra:[/*][/list] a) tracciamo la retta passante per O e perpendicolare alla retta PQ [icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon][br] b) individuiamo il punto di intersezione tra le due rette e [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon]rinominiamolo con H[br] c) tracciamo il segmento di estremi O e H [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon] e nascondiamo la retta perpendicolare disegnata al punto (a) [tasto destro sulla retta: mostra oggetto][br] d) misuriamo OH [icon]/images/ggb/toolbar/mode_distance.png[/icon][br][br]2. Scegliamo un punto sulla retta a piacere [punto su oggetto] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pointonobject.png[/icon] [i](diverso da P, Q, H) [/i]e rinominiamolo con E.[br][br]3. Muoviamo [icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon] la retta r (spostando Q o P) in modo che [b]OH >r [/b](OC); osserviamo:[br][br][br][br]
Muovendo E sulla retta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon] si osserva che OE è [b]sempre maggiore[/b] di OH (eccetto per E=H) poiché
Poiché abbiamo scelto OH>r possiamo concludere che OE è
[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Discussion.png/320px-Discussion.png[/img]Possiamo concludere che [br]Se [b]la distanza della retta r dal centro O della circonferenza [/b](OH) [b]è maggiore del raggio della circonferenza[/b] allora [br][list=1][*]tutti i punti della retta avranno distanza da O maggiore del raggio [/*][*]non esistono punti in comune tra la retta e la circonferenza[/*][*]la retta è [b]esterna alla circonferenza[/b][/*][/list][br]In simboli [math]d\left(retta,O\right)>raggio\Rightarrow esterna[/math][br]
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon] Muoviamo adesso la retta in modo che OH=raggio [br]Ripetiamo quanto fatto sopra e proviamo a trarre le nostre conclusioni [br][br][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Discussion.png/320px-Discussion.png[/img][br]Se la distanza della retta dal centro O (OH) è [b]uguale al raggio della circonferenza[/b] allora:
1) Tutti i punti della retta, eccetto H, hanno distanza dal centro O
2) Il punto H della retta risulta avere distanza da O
Dunque H è l'[b]unico [/b]punto in comune tra la retta e la circonferenza.
3) Se OH= raggio allora la retta è
H lo diremo punto di tangenza.[br][br][b]Corollario[br][/b]Se una retta è tangente ad una circonferenza, allora è [b]perpendicolare [/b]al raggio nel punto di contatto.
Per concludere[br][list][*]ripetere quanto fatto sopra nel caso in cui OH<raggio cosa possiamo concludere?[/*][/list][br][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Crystal_Clear_app_lists_fl_uk.png[/img]Ricerca nel capitolo i risultati trovati e schematizza.[br][br]Svolgi l'esercizio proposto:[br][br]disegnare una circonferenza, scegli un punto sulla circonferenza e sfruttando il corollario disegna la retta tangente alla circonferenza e passante per il punto. [suggerimento: utilizzare [icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon]retta perpendicolare][br][br]