O objetivo dessa apresentação é descobrir como calcular a distância entre ponto genérico [color=#0000ff][b]A[/b][/color] e uma reta qualquer [b][color=#ff0000]r[/color] [/b], que chamaremos de D([b][color=#0000ff]A[/color][/b],[b][color=#ff0000]r[/color][/b]). É um pouco mais elaborado se comparado à apresentação anterior(distância entre dois pontos), mas se visto devagar e entendendo todos os passos fica fácil. Vale lembrar que quando falamos de distância entre ponto e reta nos referimos à MENOR distancia entre elas.

Dada uma reta qualquer e um ponto qualquer, é possível de analisar alguns elementos importantes para a resolução desse tipo de exercício: [b]o ponto [/b][b][color=#0000ff]A[/color] [/b](a distância calculada é em relação à esse ponto); [b]o ponto [color=#6aa84f]P[/color][/b](VOCÊ é quem escolhe esse ponto [b][color=#6aa84f]P[/color][/b], PORÉM ele TEM que pertencer a reta); [b]o vetor [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20P%7D%7B%5Ccolor%7BBlue%7DA%7D%7D[/img] [/b]; [b]o vetor diretor da reta[/b]; e finalmente a [b]distância entre o ponto e a reta[/b](esse elemento eu vou chamar de altura). [br]Para melhor visualização, olhe o esquema abaixo.

No esquema apresentado o [b]vetor azul[/b](vetor [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20u%7D%7D[/img]) é o vetor entre o ponto [b][color=#93c47d]P[/color][/b] qualquer da reta e o ponto [b][color=#0000ff]A[/color][/b](o ponto A, é o ponto que desejamos saber a distância) ; o [b]vetor verde[/b] (vetor [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]) é o vetor diretor da reta; e o [b]h[/b] é a altura(é o que queremos descobrir).[br]Vamos agora, analisar só esses três elementos, e ver o que conseguimos observar.

Nota-se que se fizermos um paralelogramo usando os vetores verde e azul, pode ser vantajoso para o calculo da altura. Porque?[br]Porque é possível relacionar a [b]área desse paralelogramo [/b]de duas formas: [br]1- Módulo do produto vetorial entre o vetor [color=#93c47d][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20u%7D%7D[/img] [/color]e [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img].[br]2- Da fórmula da área do paralelogramo aprendida no colégio(comprimento da base x altura)

Obs: Lembrando que o produto vetorial entre u e v dará um VETOR. O módulo desse vetor oriundo do produto vetorial entre os dois, será IGUAL à área do paralelogramo.

Dessa forma:[br]D([b][color=#6aa84f]A[/color][/b],[b][color=#ff0000]r[/color][/b])= Distância do ponto [color=#0000ff][b]A[/b][/color] à reta [b][color=#ff0000]r[/color][/b][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20u%7D%7D[/img]=vetor PA[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]=vetor diretor da reta[br]Área do paralelogramo(por meio de produto vetorial): ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20u%7D%7D[/img] X [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]||[br]Área do paralelogramo(pela fórmula): ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]|| * h[br]Assim, já que ambas as áreas tratam do mesmo paralelogramo, é possível relacioná-las:[br] ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20u%7D%7D[/img] X [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]|| = ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]|| * h[br][b]Finalmente:[/b] h=D([b][color=#6aa84f]A[/color][/b],[b][color=#ff0000]r[/color][/b])= ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20u%7D%7D[/img] X [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]|| / ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]|| = ||[b][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20P%7D%7B%5Ccolor%7BBlue%7DA%7D%7D[/img][/b]X [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]|| / ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20v%7D%7D[/img]||

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////[br][br]Agora, como um complemento, você verá que o calculo da altura não vai depender do ponto [b]P [/b]escolhido(por favor, mexa no controle deslizante k):

Para os diferentes pontos [b][color=#6aa84f]P[/color] [/b]pertencentes a reta, nota-se que a área do paralelogramo continua a mesma (Area=base*h ; a base, que é o vetor diretor da reta é constante, assim como a altura).