Es sei [math]\mathbf\mathit{S}:\mathbf\mathcal{G}\longrightarrow \mathbf\mathcal{G}[/math] eine selbstadjungierte Abbildung mit [math]\mathbf{Spur}\left(\mathbf\mathit{S}\right)=0[/math].[br]Das charakteristische Polynom [math]p_\mathbf\mathit{S}(z)=z^3+g_2\,z-g_3[/math] bedeutet für [math]\mathbf\mathit{S}[/math]: [math]\mathbf\mathit{S}\,^3=g_3\cdot \mathbf{Id}-g_2\cdot\mathbf\mathit{S}[/math]. [br]Wir suchen "Wurzeln" von [math]\mathbf\mathit{S}[/math]. Damit ist folgendes gemeint: Die Schar [math]\mathbf\mathit{S}-\lambda\cdot\mathbf{Id},\;\lambda\in\mathbb{C}[/math] stimmt auf der Möbiusquadrik in [math]\mathbf\mathcal{G}[/math] mit [math]\mathbf\mathit{S}[/math] überein. Als [i][b]Wurzel[/b][/i] von [math]\mathbf\mathit{S}[/math] bezeichnen wir eine selbstadjungierte Abbildung [math]\mathbf\mathit{T}[/math] mit [math]\mathbf\mathit{T}\,^2 = \mathbf\mathit{S}-\lambda\cdot\mathbf{Id} [/math]. Auflösung der Suche:[br][list][*]Die Schar [math]\mathbf\mathit{S}_\lambda :=\mathbf\mathit{S}\,^2+\lambda\cdot\mathbf\mathit{S}+\frac{g_2-\lambda^2}{2}\cdot\mathbf{Id}[/math], [math]\lambda\in \mathbb{R}\mbox{ oder }\lambda\in\mathbb{C}[/math][/*][/list]sind die Wurzeln von [math]\mathbf\mathit{S}[/math]. [br]Man kann nachrechnen, dass [math]\mathbf\mathit{S}_\lambda\,^2=-p_\mathbf\mathit{S}\left(\lambda\right)\cdot\mathbf\mathit{S}+q(\lambda)\cdot\mathbf{Id}[/math] mit [math]q(\lambda)=2\lambda \,g_3+\left(\frac{g_2-\lambda^2}{2}\right)^2[/math] gilt.[br]Unsere 2.te Frage gilt den [b][i]Inversen[/i][/b] von [math]\mathbf\mathit{S}-\lambda\cdot\mathbf{Id}[/math]. Die Antwort ist verblüffenderweise fast gleich:[br][list][*] [math]\mathbf\mathit{T}_\lambda :=\mathbf\mathit{S}\,^2+\lambda\cdot\mathbf\mathit{S}+\left(g_2+\lambda^2\right)\cdot\mathbf{Id}[/math], [math]\lambda\in \mathbb{R}\mbox{ oder }\lambda\in\mathbb{C}[/math] ist bis auf einen Faktor die Inverse von [math]\mathbf\mathit{S}-\lambda\cdot\mathbf{Id}[/math].[/*][/list][u][i]Begründung:[/i][/u] [math]\mathbf\mathit{T}_\lambda\cdot\left(\mathbf\mathit{S}-\lambda\cdot\mathbf{Id}\right)=\mathbf\mathit{S}\,^3-\lambda\cdot\mathbf\mathit{S}\,^2+\lambda\cdot\mathbf\mathit{S}\,^2-\lambda^2\cdot\mathbf\mathit{S}+\left(g_2+\lambda^2\right)\cdot\mathbf\mathit{S}-\lambda\cdot\left(g_2+\lambda^2\right)\mathbf{Id}=[/math][br][math]\mbox{ }=\mathbf\mathit{S}\,^3 +g_2\cdot\mathbf\mathit{S}-\lambda\cdot\left(g_2+\lambda^2\right)\cdot\mathbf{Id}=\left(g_3-\lambda\left(g_2+\lambda^2 \right)\right)\cdot\mathbf{Id}[/math]. [br]Welche geometrische Bedeutung diese einem quadratischen Vektorfeld zugeordneten komplexen Quadrikscharen für den Fall besitzen, dass die absolute Invariante [i][b]nicht-reell[/b][/i] ist, können wir nicht beantworten.[br][i][b]Aber: [/b][/i] [br]Ist die [i][b]absolute Invariante eines quadratischen Vektorfeldes reell[/b][/i], dann gelten folgende Aussagen:[br][list][*]Bei geeigneter Normierung ist [math]\mathbf{S}[/math] besitzt in einer geeigneten Basis eine reelle Matrix.[br][/*][*]Es existiert mindestens eine Spiegelung [math]\mathbf{K}[/math], welche das Vektorfeld invariant läßt. [/*][*][math]\mathbf{K}[/math] ist mit der zugehörigen selbstadjungierten Abbildung [math]\mathbf\mathit{S}[/math] vertauschbar. [br][/*][*]Die Schar hermitescher Abbildungen [math]\mathbf\mathit{H}_{\lambda}=\mathbf{K}\cdot\mathbf\mathit{S}_{\lambda},\;\lambda\in \mathbb{R}[/math] sind die [i][b]HERMITEschen Wurzeln[/b][/i] von [math]\mathbf\mathit{S}[/math].[/*][*]Die konfokalen bizirkularen Quartiken [math] \mathbf\mathit{H}_\lambda\,\mathbf\vec{p}\left(z\right)\bullet\mathbf\vec{p}\left(z\right)=0[/math] sind Integralkurven des quadratischen Vektorfeldes. [br] [br][/*][/list]

[b]Quadrikbüschel und Quadrikschar bei reeller absoluter Invariante[/b] [br]Ist die absolute Invariante reell, so gibt es mindestens eine Spiegelung [b]K[/b] und eine dazugehörende reelle Zerlegung [math]\mathbf\mathcal{G}=\mathbf\mathcal{K}\oplus_\mathbb{R} i\cdot\mathbf\mathcal{K}[/math] von [math]\mathbf\mathcal{G}[/math]. Dabei besteht [math]\mathbf\mathcal{K}[/math] aus allen Geraden in der Kreisebene, und [math]i\cdot\mathbf\mathcal{K}[/math] aus allen Geraden im Raum, die durch den Pol des Kreises gehen. Das Büschel von selbstadjungierten Abbildungen [math]\mathbf\mathit{S}_{\lambda}[/math] läßt beide reellen Teilräume invariant.[br]Wir betrachten zunächst den Fall von 4 verschiedenen Brennpunkten auf einem Kreis: [br][math]\mathbf\mathit{S}_{\lambda}[/math] erzeugt in der dazugehörenden reellen projektiven Ebene [math]\mathbf\mathcal{K}[/math] das [i][b]Kegelschnitt-Büschel[/b][/i] aller Kegelschnitte durch die 4 Brennpunkte.[br][math]\mathbf\mathit{T}_{\lambda}=q(\lambda)\cdot\left(\mathbf\mathit{S}-\lambda\cdot\mathbf{Id}\right)^{-1}[/math], mit einer reellwertigen Funktion [math]q(\lambda)[/math], erzeugt in [math]\mathbf\mathcal{K}[/math] die [i][b]Kegelschnitt-Schar[/b][/i] aller Kegelschnitte, die die 4 Kreis-Tangenten der Brennpunkte berühren.[br]Diese Kegelschnitt-Schar ist die Projektion der konfokalen bizirkularen Quartiken auf die Symmetrie-Ebene.[br]Es gilt in allen Fällen: die Gleichungen [br][list][*][math]\mathbf\mathit{H}_\lambda \mathbf\vec{p},\left(z\right),\mathbf\vec{p}\left(z\right)\bullet\mathbf\vec{p}\left(z\right)= \mathbf\mathit{S}_\lambda \circ\mathbf{K}\mathbf\vec{p}\left(z\right)\bullet \mathbf\vec{p}\left(z\right)=0[/math] und [math]\mathbf\mathit{T}_\lambda \left[\mathbf\vec{p},\left(z\right),\,\mathbf{K}\mathbf\vec{p}\left(z\right)\right]\bullet\left[\mathbf\vec{p},\left(z\right),\,\mathbf{K}\mathbf\vec{p}\left(z\right)\right]= 0 [/math] [br][/*][/list]gehören zu ein und derselben bizirkularen Quartik, berechnet in der ersten Gleichung mit der [i][b]HERMITE[/b][/i]schen Wurzel, in der 2.ten mittels der Polarität.[br]Den Grund für diese Gleichheit rechnerisch zu ermitteln, ist uns nicht gelungen.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]