On peut bien sûr ajouter des longueurs. En ajoutant la même longueur, on obtient l'addition itérée, c'est-à-dire la multiplication par un nombre entier. En coupant une longueur en parties égales, on obtient également la division par des nombres entiers, ce qui est possible en comparant le segment avec un segment construit comme autant de parties égales. En composant ces deux multiplications, on obtient la multiplication par des rationnels. Mais peut-on mutliplier des longueurs entre elles? Pour un Grec, la multiplication est... multiple. Il y a d'abord la multiplication homogène, comme addition itérée d'une longueur, comme fraction d'une longueur (division par un entier), et comme produit par un rationnel, donnant une longueur. Mais il y a également le produit hétérogène, qui a deux longueurs associe une grandeur différentes, une aire, comme surface délimitée par un rectangle de côtés donnés. On peut se ramener à une opération homogène, à une longueur, en comparant ce rectangle à un carré de même aire. Ce qu'on comprend comme la moyenne géométrique des deux longueurs, ce n'est pas leur produit. Ces deux types de multiplications, tout à fait différentes, ne sont pas homogènes, soit c'est un scalaire rationnel produit par une longueur qui donne une longueur, soit c'est un produit de deux longueurs qui donne une aire. Pour avoir un produit homogène, il faut une unité. Cette unité 1 étant donnée, on peut alors, en utilisant judicieusement le théorème de Thalès, construire, à l'aide d'un point 1' extérieur auxiliaire, on peut alors construire géométriquement le carré d'une longueur, son inverse, le produit de deux longueurs.
Vous pouvez bouger les points pilotant a, b et 1' le point auxiliaire. Remarquez que pour des nombres entiers ou des fractions de l'unité, on retrouve l'addition itérée et la fraction. Remarquez que cette construction donne un sens géométrique tout à fait clair aux produits de grandeurs algébriques, a et b peuvent être négatives (faites les passer de l'autre côté de l'origine par rapport à 1). On retrouve ainsi les règles de signes et on donne un sens géométriques à des constructions telles que <math>-2,3\times -0,6=+1,38</math>. Retenons que la multiplication, par delà l'addtion itérée, est associée à un agrandissement ou une réduction.