Diviseurs et nombres premiers
Niveau : collège Ces quelques fiches présentent la notion de nombre premier, la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers, la recherche et l'utilisation des diviseurs d'un nombre.
Table of Contents
- Nombres premiers et décomposition
- Nombres premiers de 2 à 9973
- Décomposition d'un entier en facteurs premiers
- Décomposition en facteurs premiers : s'entraîner
- Rechercher les diviseurs d'un entier, les diviseurs communs à deux entiers
- Diviseurs d'un nombre entier
- Déterminer l'ensemble des diviseurs d'un entier
- Diviseurs communs à plusieurs entiers
- PGCD, PPCM et décomposition en facteurs premiers
- Utiliser des diviseurs, des diviseurs communs, des multiples
- Utiliser les diviseurs communs
- Les engrenages
- Rappels sur la divisibilité
- Règles de divisibilité
Nombres premiers de 2 à 9973
Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
[br][color=#cc0000]Un nombre premier est un entier positif qui possède exactement deux diviseurs :[br]- le nombre 1 et - lui-même.[/color][br][br]Ainsi : [br]13 est premier car 13 = 1 x 13[br]15 n'est pas premier car 15 = 1 x 15 mais on a aussi 15 = 3 x 5[br][br][i]Cas particulier : l'entier 1 n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur : 1 = 1 x 1)[/i][br][br][color=#cc0000]Tout nombre entier naturel qui n'est pas premier peut être décomposé (ou factorisé) en un produit de facteurs premiers.[/color][br][br]Par exemple : 24 = 2 x 12 = 2 x 2 x 6 = 2 x 2 x 2 x 3[br] 24 = 2[sup]3[/sup] x 3[br][br][i]Autrement dit : les nombres premiers sont les entiers qui ne peuvent pas être décomposés.[/i][br]
Diviseurs d'un nombre entier
Quelques exemples
[color=#ff0000]Les diviseurs d'un entier n sont les nombres entiers p, inférieurs ou égaux à n, tels que[br]la division euclidienne de n ait un reste nul.[/color][br][br]On alors n = k x p (avec k un nombre entier)[br][br]Par exemple : 12 = 3 x 4, donc [color=#0000ff]4 est un diviseur de 12[/color] (et 3 aussi).[br][br]Attention à la confusion de vocabulaire : [color=#ff7700]12 est un multiple[/color] de 3 et de 4.
Utiliser les diviseurs communs
Exemple de problème
On considère une plaque rectangulaire de longueur 110 cm et de largeur 88 cm.[br]On souhaite découper cette plaque en petits carrés, tous identiques, d'un nombre entier de cm.[br]1) Peut-on couper des carrés de 10, 11, 12 cm ?[br]2) Quels sont les plus grands carrés que l'on peut découper ?[br] Dans ce cas, combien de carrés obtiendra-t-on ?
Réponses :
1) 11 est un diviseur commun à la longueur (110) et à la largeur (88) de la plaque.[br] On peut donc découper des carrés de 11 cm.[br] 10 et 12 n'étant pas des diviseurs communs de 110 et 88, [br] on ne peut pas couper des carrés de 10 ou 12 cm.[br][br]2) Le plus grand des diviseurs communs est 22. On peut découper des carrés de 22 cm.[br] [math]\frac{110}{22}=5[/math] et [math]\frac{88}{22}=4[/math][br] Dans ce cas, il y aura 5 carrés découpés sur la longueur et 4 sur la largeur.[br] Soit au total, 20 carrés dans la plaque.[br][br][i][color=#ff00ff]Problème similaire : résoudre ce problème avec une plaque de 120 cm de longueur et 90 cm de largeur.[/color] [/i][br]
Règles de divisibilité
Connaître les règles de divisibilité est souvent utile[br]si l'on veut savoir si une division va donner un résultat entier ou non.