Partiamo da un problema di geometria analitica elementare: vogliamo calcolare la distanza tra due punti allineati con uno dei due assi cartesiani. Questo ci semplifica le cose, perché i punti condividono lo stesso valore per una delle due coordinate e quindi la loro distanza "si esprimerà" tutta lungo l'altra coordinata...

Ovviamente una dimostrazione analoga ci porterebbe ad una conclusione analoga per due punti che hanno la stessa coordinata [math]\large{y}[/math], come mostrato nel seguente esempio.[br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO 1: [/b]Considera i due punti [math]\large{P(4,3)}[/math] e [math]\large{Q(7,3)}[/math]. [br]Cerca di visualizzarli sul piano: come saranno disposti rispetto ai due assi?[br]Come potremo calcolare la loro distanza? [br]Disegnali sul piano e verifica le tue ipotesi decidendo quale operazione devi fare per calcolare la loro distanza.[/color]

Riassumendo:[br][list][*]se due punti hanno una delle due coordinate uguali tra loro, sono allineati rispetto ad uno degli assi[/*][*]la loro distanza si calcola con la differenza tra le coordinate non uguali[/*][*]di solito si sceglie di calcolare [math]\large{\textcolor{red}{coordinata\ secondo\ punto\ -\ coordinata\ primo\ punto}}[/math] e di porre il risultato tra [b]valore assoluto[/b] per assicurarci che esso sia positivo.[/*][/list][br]Approfondiamo l'operatore di valore assoluto nel prossimo paragrafo.[br][br][size=150][color=#ff0000]L'OPERATORE VALORE ASSOLUTO[/color][/size][br]L'operatore [b]valore assoluto[/b] (o [b]modulo[/b]) è rappresentato da due linee verticali ed è chiamato così perché restituisce appunto il valore assoluto (o modulo) del proprio argomento. Di fatto quindi ne rimuove il segno, e questo ha ovviamente un effetto significativo quando il segno originale è negativo.[br][br][math]\mid-3\mid=3[/math] (il segno meno è stato rimosso ed è rimasto il modulo, cioè 3)[br]   [br][math]\mid+3\mid=3[/math]   (in questo caso anche il numero originale era positivo, quindi non è cambiato niente)[br][br][b][color=#ff0000]L'effetto finale è quindi quello di avere sempre quantità positive: se quella originale era già positiva viene lasciata invariata, mentre se era negativa di fatto le viene cambiato il segno.[/color][br][/b][br][b]Questo operatore può essere utilizzato ogni volta che ci si deve assicurare che il risultato di un'operazione sia positivo, come nel nostro caso, dato che la misura di una distanza non può essere negativa.[/b][br][br]Come visto nell'esempio, l'operatore di valore assoluto ci permette di utilizzare sempre la stessa formula per calcolare la lunghezza di un segmento - coordinata del SECONDO punto meno quella del PRIMO - indipendentemente dal loro valore (perché tra le due possibilità si è scelto quest'ordine, secondo te?).[br][br][b][color=#1155cc]ESEMPIO[/color][br][color=#3d85c6]Prova a capire PRIMA di disegnarlo come è orientato il segmento che ha per estremi i punti [math]\large{P(4,5)}[/math] e [math]\large{Q(-6,5)}[/math], poi calcola la sua lunghezza.[/color][br][/b][br]I due punti hanno la stessa y, quindi sono "alti" uguali: il segmento è "orizzontale", cioè parallelo all'asse delle x, le ascisse. [br][br]Per trovare la distanza tra i due punti sottraiamo le coordinate diverse tra loro, [b]la seconda meno la prima[/b]:[br][br][math]\Large{\overline{PQ}=\mid x_Q-x_P\mid = \mid -6-(+4)\mid =\mid -6-4\mid =\mid -10\mid = 10}[/math][br][br][b][color=#cc0000]ATTENZIONE: PICCOLA ANTICIPAZIONE[/color][/b][br]Un altro aspetto interessante del modulo è che ci permette di [i]costruire l'espressione [/i]della lunghezza di un segmento [i]senza dover necessariamente sapere tutti i valori numerici delle coordinate dei suoi estremi[/i]. [br][br][b][color=#1155cc]ESEMPIO[/color][br]Come è orientato il segmento di estremi [math]\large{P(3s-2,s-7)}[/math] e [math]\large{Q(3s-2,2s)}[/math], dove [math]\large{s}[/math] è un numero qualsiasi? Esprimi la lunghezza del segmento.[/b][br][br]Anche senza sapere quanto vale [math]\large{s}[/math], si vede che i due punti hanno la stessa ascissa: sono "spostati lateralmente" della stessa quantità e quindi sono "impilati" in verticale: il segmento è parallelo all'asse delle ordinate, le y.[br][br]Esprimiamo la lunghezza del segmento ricorrendo al solito ragionamento: la differenza di quanto si sposta il secondo estremo rispetto al primo:[br][br][math]\Large{\overline{PQ}=\mid y_Q-y_P\mid = \mid 2s-(s-7)\mid =\mid s+7\mid}[/math][br][br]Per il momento non possiamo andare oltre, finché non sappiamo di più sul valore di [math]\large{s}[/math]. Da notare che NON sappiamo se [math]\large{s+7}[/math] è positivo o negativo: e se [math]\large{s}[/math] vale [math]\large{-10}[/math]?!!?[br][br][size=150][color=#ff0000]SEMPLICI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON IL VALORE ASSOLUTO[br][/color][/size]Vediamo nell'animazione qui sotto come collegare il VALORE ASSOLUTO al concetto di DISTANZA ci permette di risolvere facilmente alcune equazioni e disequazioni in cui compare questo operatore.[br][br]Questo metodo è applicabile solo nei casi più semplici (in cui un valore assoluto è confrontato con una quantità costante) e per casi più complessi è necessario utilizzare altri approcci, ma è comunque utile perché permette di collegare la tecnica risolutiva ad una profonda comprensione dell'operatore valore assoluto.

[size=150][b][color=#ff0000]VERSO L'ANALISI (CLASSI 4° E 5°)[br][/color][/b][/size]Dato che il valore assoluto ci permette di esprimere la [b]distanza[/b] da un valore di riferimento, [b]è uno strumento essenziale per esprimere il fatto che ci stiamo [u]avvicinando[/u] a questo valore di riferimento, ovvero che stiamo valutando un limite per x che tende a questo valore[/b].[br][br]Ad esempio se vogliamo dire che stiamo studiando una funzione per le [b]x vicine al valore 2[/b], possiamo esprimerlo affermando che [b]la distanza delle x da 2 deve essere meno di un certo valore molto piccolo [math]\large{\delta}[/math][/b] (più piccolo è [math]\large{\delta}[/math], più vicine saranno le x):[br][br][math]\Large{|x-2|<\delta}[/math] [br][br]che come abbiamo visto significa dire che x è compreso tra i valori[br][br][math]\Large{2- \delta < x< 2+ \delta}[/math][br][br]Allora se stiamo considerando il limite[br][br][math]\Large{\lim_{\textcolor{blue}{x \to 2}}\textcolor{red}{2x+1} = \textcolor{#ff8800}{5}}[/math][br][br]stiamo dicendo che [br][list][*][b][color=#0000ff]quando le x sono abbastanza vicine al 2[/color][/b],[/*][*][math]\textcolor{red}{\large{2x+1}}[/math] [color=#ff0000][b]deve avvicinarsi a [color=#ff7700]5[/color][/b][/color][/*] [/list]traducendo le due frasi in disequazioni con i moduli abbiamo [br][list][*]se le x sono comprese tra [math]\textcolor{blue}{\large{2- \delta < x< 2+ \delta}}[/math], dove [math]\large{\delta}[/math] è una distanza piccola a piacere[/*][*]allora [math]\textcolor{red}{\large{2x+1}}[/math] [color=#ff0000]deve distare da [b][color=#ff7700]5[/color][/b][/color] meno di un certo valore [math]\textcolor{red}{\Large{\varepsilon}}[/math] piccolo a piacere, cioè [math]\textcolor{red}{\large{|\textcolor{black}{2x+1}-\textcolor{#ff8800}{5}|<\varepsilon \implies \textcolor{#ff8800}{5}- \varepsilon<\textcolor{black}{2x+1}< \textcolor{#ff8800}{5}+ \varepsilon}}[/math][/*][/list][br](le distanze lungo le x e lungo le y, [math]\large{\delta}[/math] e [math]\large{\varepsilon}[/math], in generale [i]non[/i] sono la stessa, l'importante è che [i]entrambe diventino piccole a piacere[/i], cioè che ci stiamo avvicinando).[br][br]Entreremo più nel dettaglio nella dimostrazione formale del limite, che puoi trovare in [url=https://www.geogebra.org/m/p4MsuxhB]questa pagina[/url].