アルキメデスの積尽法

Bunryu Kamimura, Feb 9, 2016

Archimedes（BC287？～BC212） 前期アレクサンドリア学派の中で、アルキメデスは特別な存在。 アルキメデスの業績だけを取り上げてみる。 特に、後に積分へとつながる積尽法は見事である。 [url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/kyuu1.html[/url]《アルキメデスは球の体積をどうやって見つけたのか》

Table of Contents

  1. 円周率の研究
    1. 円の面積の求め方
    2. 円周を求める正多角形
    3. 円周率の計算
    4. πの求め方
    5. 再び円周率の求め方ーその２
    6. 円周率が３．０５よりも大きいことを証明せよ
  2. 球及び円柱に関する研究
    1. 球の体積
    2. 球の体積の求め方
    3. 三角錐の体積
    4. 球の体積
  3. 放物線の求積
    1. 楕円の面積
    2. アルキメデスの積尽法（放物線の面積の求め方）
  4. 螺旋の研究
    1. アルキメデスらせん
  5. 物理の研究
    1. 天秤の原理と反比例 principle of leverage
    2. 浮力と比重
  6. 三角関数と円周率
    1. 円周率に関する面白い性質
    2. 円の外接正多角形と内接正多角形の差の比
    3. 三角関数の級数
    4. 三角関数の級数展開２
    5. sin+tan=?
    6. 半角のsinとtanについて

1.

円周率の研究

アルキメデスは正９６角形を画くことによって[math]3\frac{10}{71}< π <3\frac{10}{70}[/math]に到達した。

  • 1. 円の面積の求め方
  • 2. 円周を求める正多角形
  • 3. 円周率の計算
  • 4. πの求め方
  • 5. 再び円周率の求め方ーその２
  • 6. 円周率が３．０５よりも大きいことを証明せよ

1.1.

円の面積の求め方

扇形の面積を求める方法を拡張した。[br]孤の長さをｌとすると、[br]扇形の面積＝πｒ^2×（ｌ÷２πｒ）=ｒｌ÷2[br]これを逆に考えると、次のようになる。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

–

1.4.

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1.5.

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1.6.

–

2.

球及び円柱に関する研究

1.球の表面積はその大円の面積の４倍に等しい 2.球冠の表面積はその頂点から底円の周上に至る長さを半径とする円の面積に等しい 3.球に外接する直円柱の体積及び表面積はいずれも球のそれの３／２倍に等しい

  • 1. 球の体積
  • 2. 球の体積の求め方
  • 3. 三角錐の体積
  • 4. 球の体積

2.1.

球の体積

– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

–

3.

放物線の求積

後世の積分法の端緒となった研究

  • 1. 楕円の面積
  • 2. アルキメデスの積尽法（放物線の面積の求め方）

3.1.

楕円の面積

楕円と円を縦に切ると、縦の長さの比は長径：短径となって変わらない。[br]これは、縦に細かく切った台形の面積も同じ比であることを示している。[br]したがって、その和である楕円と円の面積の比も同じである。
– Bunryu Kamimura

3.2.

–

4.

螺旋の研究

アルキメデス螺旋 一直線が一定点のまわりに回転するとき、その直線上にその回転した角の大きさに比例して取った点の軌跡

  • 1. アルキメデスらせん

4.1.

アルキメデスらせん

アルキメデスはこのらせんを使って、スクリューで巻き上げる水汲み機を作成したという。 さらに、このらせんは植物の作るらせんでもある。 [url]http://tube.geogebra.org/b/1375763#chapter/44877[/url]《成長のらせん》
– Bunryu Kamimura

5.

物理の研究

てこの研究や王冠の比重の研究など

  • 1. 天秤の原理と反比例 principle of leverage
  • 2. 浮力と比重

5.1.

天秤の原理と反比例 principle of leverage

天秤の原理を反比例を使って説明する。[br]BとCをつまんで動かしてください。[br]矢印は重さです。
天秤の原理と反比例 principle of leverage
原理的には無限の力得られることになります。
– Bunryu Kamimura

5.2.

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6.

三角関数と円周率

アルキメデス以後の 円周率についての面白い性質

  • 1. 円周率に関する面白い性質
  • 2. 円の外接正多角形と内接正多角形の差の比
  • 3. 三角関数の級数
  • 4. 三角関数の級数展開２
  • 5. sin+tan=?
  • 6. 半角のsinとtanについて

6.1.

円周率に関する面白い性質

林邦英さんから教えていただきました。円の内接正多角形と外接正多角形の長さの差の比に関する面白い性質です。図を拡大して、ＣやＢを動かしてみましょう。この比が１：２に近づいていきます。証明できるでしょうか？
– Bunryu Kamimura

6.2.

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6.3.

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6.4.

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6.5.

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6.6.

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