[size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/right][/size][br][size=85]Ein [color=#ff7700][b]Cartesisches Oval[/b][/color] mit 4 verschiedenen [i][b][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/b][/i] besitzt 4 paarweise orthogonale [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color] [br]und zu jeder [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] eine Schar [color=#666666][i][b]doppelt-berührender[/b][/i][/color] [color=#38761D][i][b]Kreise[/b][/i][/color].[br]Durch jeden [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] zwischen den [color=#ff7700][i][b]Ovalen[/b][/i][/color] gehen 6 dieser [color=#666666][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size].[br]Aus je drei [i]Scharen von benachbarten[/i] [color=#38761D][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] kann man [i][b][color=#9900ff]Sechseck-Netze[/color] [/b][/i]aus[i][b] [color=#38761D]Kreisen[/color][/b][/i] erzeugen; vorausgesetzt,[br]die 3 [i]Scharen[/i] gehören zu verschiedenen [color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color].[br]Das Applet zeigt ein [i][b]endliches[/b][/i] [color=#9900ff][i][b]Sechseck-Netz[/b][/i][/color]. [br]Einer der [/size][size=85][color=#ffff00][i][b][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color][/size][/b][/i][/color] ist imaginär. Der 4. [i][b][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/b][/i] ist [math]\infty[/math].[br]Damit das [color=#9900ff][i][b]6-Ecknetz[/b][/i][/color] erkennbar ist, wird von den jeweils 12 [/size][size=85][size=85][i][b][color=#38761D]Kreisen[/color][/b][/i][/size] der drei Kreisscharen entweder [br]nur eine Auswahl der [/size][size=85][size=85][i][b][color=#38761D]Kreise[/color][/b][/i][/size], oder nur Teile der [/size][size=85][size=85][i][b][color=#38761D]Kreise[/color][/b][/i][/size] angezeigt ([color=#38761D][i][b]Halbkreisbögen[/b][/i][/color]). [br]Die [/size][size=85][i][b][color=#38761D]Kreise[/color][/b][/i][/size][size=85] einer Schar überdecken das Gebiet zwischen den beiden [color=#ff7700][i][b]Ovalen[/b][/i][/color] zweifach![/size][br][br][size=85]Konstruiert wurde das [color=#9900ff][i][b]6-Ecknetz[/b][/i][/color] mit Hilfe der 3 konzentrischen[color=#0000ff][i][b] Leitkreise[/b][/i][/color] des [color=#00ff00][i][b]Brennpunkts[/b][/i][/color] [math]\infty[/math]. [br]Das wird ermöglicht durch folgende [i][b]Grundeigenschaft[/b][/i] [color=#ff7700][i][b]bizirkularer Quartiken[/b][/i][/color], zu denen auch die [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] gehören:[br][list][*]Spiegelt man einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] an den [size=85][color=#666666][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#38761D][i][b]Kreisen[/b][/i][/color][/size], [br]so liegen die Spiegelbilder auf 4 zur jeweiligen [size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color][/size] gehörenden [size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Kreisen[/b][/i][/color][/size][/size][color=#38761D][i][b]:[/b][/i] den[/color] [size=85][color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color][/size]. [/*][/list]Im Applet ist die [math]x[/math]-Achse [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][color=#000000] u[/color][/color]nd [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] zugleich, [br]die zugehörigen [color=#666666][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size] können jedoch nicht zum [color=#9900ff][i][b]6-Ecknetz[/b][/i][/color] beitragen.[br][br][size=85]Geometrische Bedeutung der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] und der [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color]:[br]Die 4 [/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size][/size] können auf drei verschiedene Weisen zwei verschiedene [color=#38761D][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] erzeugen. [br]Die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] dieser [/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color][/size][/size] nennen wir "[color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color]". [br]Betrachtet man die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zweier möglichen [/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color][/size][/size][/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]büschel[/b][/i][/color][/size][/size]: durch jeden [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] des [color=#9900ff][i][b]Ovals[/b][/i][/color] gehen [br]je ein [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] aus den beiden [/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color][/size][/size]. Das [/size][/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff7700][b]Cartesisches Oval[/b][/color][/size] ist [i][b]Winkelhalbierende[/b][/i] all dieser [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]! [br]Da ein [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]\infty[/math] ist, ist einer der [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] eine Gerade. [br]Zu den 4 konzyklischen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] gehört eine [i][b]konfokale Schar von bizirkularen Quartiken[/b][/i]. [br]Diese Kurven sind die Lösungskurven einer elliptischen Differentialgleichung [math] g'\;^2=\left(g-f_1\right)\cdot \left(g-f_2\right)\cdot \left(g-f_3\right)\cdot \left(g-f_4\right)[/math] [br]mit reellen [/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color][/size][/size] [math]f_1,..,f_4[/math].[br]Da einer der [/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size][/size] in [math]\infty[/math] liegt, ist die Lösung eine [b]Weierstrass[/b]'sche [math]\wp[/math]-Funktion [br]mit [math]\wp'\;^2=\left(\wp-f_1\right)\cdot \left(\wp-f_2\right)\cdot \left(\wp-f_3\right)[/math] und reellen [/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color][/size][/size] [math]f_1,\,f_2,\,f_3[/math].[br][br]Ein Bild von einem solchen [i][b]endlichen[/b][/i] [color=#9900ff][i][b]6-Ecknetz[/b][/i][/color] aus [color=#38761D][i][b]Kreisen[/b][/i][/color], die ein [b]Cartesisches Oval[/b] einhüllen, ist uns nur [br]aus dem Artikel von [b]Walter Wunderlich[/b] ([b]1938[/b]) bekannt: [b][br]Walter Wunderlich[/b] "Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen" [i]Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien[/i] 147:385-399, 1938.[/size][br][size=50][right]Dieses Arbeitsblatt ist auch Teil des [color=#980000][i][b]Ge[/b][/i][/color][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][color=#980000][i][b]gebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV]Sechseck-Netze[/url].[/right][/size][/size][size=85][br]Man kann das [i][b]Netz in Bewegung versetzen[/b][/i]. Dabei bewegt sich einer der erzeugenden [color=#00ffff][i][b]Punkte[/b][/i][/color] auf einem der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color]. [br]Durch die Bewegung kommen Kreise und Punkte der Überlagerung ins Blickfeld, und das Bild wird unübersichtlich. [br]Hinzu kommt, dass die Kreisbögen teilweise ihre Bezugspunkte oder ihre Orientierung verlieren: sie sind dann kein Teil der [br]doppelt berührenden Kreise mehr! Erstaunlich ist, dass sich das Bild nach einer Umdrehung wieder beruhigt. [br]Wenn nicht: der [i][b][color=#cc0000]refresh-button[/color][/b][/i] schafft wieder Ordnung! [br][/size]