Das folgende Schaubild zeigt das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer Fahrradtour durch Lissabon.[br]Welchen Weg hat der Radfahrer in Lissabon während einer Fahrradtour in 1,2 Stunden zurückgelegt?
Versuche den zurückgelegten Weg (=Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse) im Intervall [0;1,2] [br]näherungsweise zu bestimmen.[br]a) Schätze den Flächeninhalt.[br]b) Zähle die einzelnen Kästchen ab.[br]c) Berechne die Fläche, indem du sie in einfache geometrische Figuren zerlegst.
Ein Mathematiker names Riemann hatte zu diesem Flächeninhaltsproblem eine Idee: Man kann den Flächeninhalt mit einfachen Rechtecksflächen annähern. Dazu bildet man die Obersumme und Untersumme. Doch was versteht man darunter?[br]Führe nun die folgenden Schritte aus, verwende für die Erarbeitung dein Arbeitsblatt.[br]Hilfe findest du durch Anklicken des Hilfekastens in der Graphik.[br][br][list=1][*]Zerlege das Intervall das Intervall [0;1,2] in sechs gleich große Teilintervalle. Die Breite eines Teilintervalls bezeichnen wir mit [math]\Delta[/math]x.[/*][*]Aktiviere nun in der darunter stehenden Graphik nacheinander die Kästchen "Obersumme" und "Untersumme".[/*][*]Beschreibe in eigenen Worten auf dem Arbeitsblatt "Obersumme" und "Untersumme". Übertrage die Rechtecksflächen auf dein Arbeitsblatt. ("Obersumme" verstanden? Test unter der Abbildung.)[/*][*]Berechne nun die Obersumme und die Untersumme. Verwende hierfür die Werte aus der Wertetabelle neben dem Schaubild. Für die Rechnung ist Platz auf dem Arbeitsblatt vorgesehen.[/*][/list]
Diese Antworten sind richtig:[br]"Ist die Summe aller Rechtecksflächen, die "zu groß" sind" sowie[br]"berechnet man, indem man jeweils den größeren der beiden Funktionswerte des Teilintervalls als Höhe wählt."
[math][/math][br]Stelle zunächst eine Vermutung auf, wie sich die Werte für eine immer größer werdende Anzahl an Rechtecken entwickeln.[br][br]Verändere nun die Unterteilung des Intervalls [0;1,2] mit dem [b]Schieberegler[/b]. Unten links in der Ecke kannst du auf "[b][i]Play[/i][/b]" drücken und dir die Animation anschauen.[br]Beschreibe deine Beobachtung.[br]Gebe erneut einen Näherungswert für den zurückgelegten Weg des Radfahrers an.
Vergleiche nun deinen Schätzwert aus dem letzten Aufgabenteil mit deinen Schätzwerten aus dem ersten Aufgabenteil.[br]
Willst du den exakten Wert für den zurückgelegten Weg des Fahrradfahrers wissen?[br]
Wie groß muss die Unterteilung n gewählt werden, damit die Differenz zwischen Obersumme und Untersumme kleiner als 0,5 ist?
Überlege dir eine kleine Geschichte, wie die Fahrradtour verlaufen könnte. Höhen, Tiefen, Schwierigkeiten?[br]Ist das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm realistisch?