Construcciones geométricas con regla y compás

Manuel Sada, Antonio Comino, Jul 3, 2017

En el primer capítulo se recopilan las construcciones clásicas con solo regla y compás. O sea que la falta de escuadra o cartabón se concreta en que no se puede disponer de las herramientas de GeoGebra para la construcción inmediata de perpendiculares y paralelas. En el segundo capítulo sí que se dispone deestas dos herramientas lo que permite concluir las construcciones sensiblemente más rápido. En los dos últimos capítulos, se trabajan construcciones que cuya imposibilidad de realizar con solo regla y compás hizo necesaria la búsqueda de otros métodos o bien la aproximación a la solución.

Table of Contents

  1. Construcciones con sólo regla y compás
    1. La Mediatriz (y el punto medio) de un segmento con regla y compás
    2. La Bisectriz con regla y compás (1 de 2)
    3. La Bisectriz con regla y compás (2 de 2)
    4. Centro de una circunferencia con regla y compás
    5. Punto simétrico a otro, con regla y compás
    6. Perpendicular por un punto con regla y compás
    7. Paralela a una recta por un punto dados, con regla y compás (2 de 2)
    8. Paralela a una recta por un punto dados, con regla y compás (1 de 2)
    9. Tangente a una circunferencia desde un punto exterior, con regla y compás
    10. Triángulo equilátero con regla y compás
    11. Cuadrado con regla y compás (1 de 2)
    12. Cuadrado con regla y compás (2 de 2)
    13. Hexágono regular (a partir del lado) con regla y compás
    14. Hexágono regular (a partir del radio) con regla y compás
    15. Pentágono regular con regla y compás, a partir de un lado
    16. Pentágono regular inscrito en una circunferencia con regla y compás
    17. Octógono regular con regla y compás
    18. Decágono regular con regla y compás
  2. Construcciones con regla, compás... y escuadra
    1. Trisección de un segmento con regla, compás y escuadra
    2. Rectángulo aúreo con regla, compás y escuadra
    3. Cuadrado con regla, compás y escuadra
    4. Pentágono regular a partir de un lado, con regla, compás y escuadra.
    5. Pentágono regular inscrito en una circunferencia con regla, compás y escuadra
    6. Polígono regular de 17 lados con regla y compás
  3. Construcciones imposibles con sólo regla y compás: problemas clásicos
    1. Cuadratriz de Hipias
    2. Trisección de un ángulo (Hipias)
    3. Cuadratura del círculo aprovechando la trisectriz de Hipias
    4. Duplicación del cubo mediante dos parábolas (Menecmo)
    5. Duplicación del cubo por el método de Arquitas
  4. Aproximaciones a polígonos regulares con regla y compás
    1. Aproximación al heptágono regular con regla y compás
    2. Aproximación al eneágono regular con regla y compás

1.

Construcciones con sólo regla y compás

No hay ni escuadra ni cartabón: no se puede usar las herramientas de GeoGebra para las perpendiculares y paralelas

  • 1. La Mediatriz (y el punto medio) de un segmento con regla y compás
  • 2. La Bisectriz con regla y compás (1 de 2)
  • 3. La Bisectriz con regla y compás (2 de 2)
  • 4. Centro de una circunferencia con regla y compás
  • 5. Punto simétrico a otro, con regla y compás
  • 6. Perpendicular por un punto con regla y compás
  • 7. Paralela a una recta por un punto dados, con regla y compás (2 de 2)
  • 8. Paralela a una recta por un punto dados, con regla y compás (1 de 2)
  • 9. Tangente a una circunferencia desde un punto exterior, con regla y compás
  • 10. Triángulo equilátero con regla y compás
  • 11. Cuadrado con regla y compás (1 de 2)
  • 12. Cuadrado con regla y compás (2 de 2)
  • 13. Hexágono regular (a partir del lado) con regla y compás
  • 14. Hexágono regular (a partir del radio) con regla y compás
  • 15. Pentágono regular con regla y compás, a partir de un lado
  • 16. Pentágono regular inscrito en una circunferencia con regla y compás
  • 17. Octógono regular con regla y compás
  • 18. Decágono regular con regla y compás

1.1.

La Mediatriz (y el punto medio) de un segmento con regla y compás

Observa en la figura de encima cómo se puede construir, con sólo regla y compás, la mediatriz de un segmento.[br][list=1][*]Constrúyela sobre la figura de debajo, utilizando las herramientas de la parte superior.[br][/*][*]¿Cómo definirías la [i]mediatriz [/i]de un segmento? Es la recta situada ¿dónde?[br][/*][*]Cambia de posición los extremos del segmento inicial y comprueba que la construcción mantiene su validez.[br][/*][*]Dibuja un punto sobre la mediatriz y mide su distancia a los dos extremos del segmento inicial. ¿Qué cumplen todos los puntos de la mediatriz de un segmento?[br][/*][/list]
– Manuel Sada

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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1.9.

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1.10.

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1.11.

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1.12.

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1.13.

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1.14.

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1.15.

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1.16.

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1.17.

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1.18.

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2.

Construcciones con regla, compás... y escuadra

En estas construcciones, se incluyen las herramientas de GeoGebra para obtener perpendiculares y paralelas inmediatamente. Así las construcciones no resultarán tan laboriosas como si solo dispusiésemos de la regla y el compás. Es como si además tuviésemos una escuadra o cartabón.

  • 1. Trisección de un segmento con regla, compás y escuadra
  • 2. Rectángulo aúreo con regla, compás y escuadra
  • 3. Cuadrado con regla, compás y escuadra
  • 4. Pentágono regular a partir de un lado, con regla, compás y escuadra.
  • 5. Pentágono regular inscrito en una circunferencia con regla, compás y escuadra
  • 6. Polígono regular de 17 lados con regla y compás

2.1.

Trisección de un segmento con regla, compás y escuadra

Observa en la figura de encima cómo se puede dividir un segmento en tres trozos iguales, con regla, compás y escuadra.[br][list=1][*]Cambia de posición los puntos iniciales y comprueba que la construcción mantiene su validez.[br][/*][*]Repite una construcción análoga en la ventana de debajo, utilizando las herramientas de la parte superior.[/*][*]Redacta a modo de receta el procedimiento de construcción de modo que cualquier otra persona fuese capaz de reproducirlo sin haber visto la figura.[br][/*][*]Prueba a dividirlo en 5 trozos iguales.[br][/*][*]¿Se te ocurre cómo dividirlo en cuatro trozos sólo con regla y compás (es decir, sin utilizar la herramienta para las paralelas)?[br][/*][/list]
– Manuel Sada

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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3.

Construcciones imposibles con sólo regla y compás: problemas clásicos

Siglos después de que los matemáticos de la Grecia clásica intentasen diversas construcciones geométricas con regla y compás, se demostró que éstas eran imposibles. Pero en el camino, se encontraron caminos alternativos muy interesantes.

  • 1. Cuadratriz de Hipias
  • 2. Trisección de un ángulo (Hipias)
  • 3. Cuadratura del círculo aprovechando la trisectriz de Hipias
  • 4. Duplicación del cubo mediante dos parábolas (Menecmo)
  • 5. Duplicación del cubo por el método de Arquitas

3.1.

Cuadratriz de Hipias

Cuadratriz de Hipias
– Manuel Sada

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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4.

Aproximaciones a polígonos regulares con regla y compás

  • 1. Aproximación al heptágono regular con regla y compás
  • 2. Aproximación al eneágono regular con regla y compás

4.1.

Aproximación al heptágono regular con regla y compás

Observa en la figura de encima un procedimiento para construir, con regla, compás (y escuadra para dibujar más rápido las paralelas), un heptágono casi regular.[br][list=1][*]Repite una construcción análoga en la ventana de debajo, utilizando las herramientas de la parte superior.[br][/*][*]Cambia de posición los puntos iniciales y comprueba que la construcción mantiene su validez.[br][/*][*]Quizás ya hayas oído que está demostrado matemáticamente que es imposible conseguir un heptágono regular con solo regla y compás. ¿Observas algún fallo en la construcción anterior?[br][/*][/list]
– Manuel Sada

4.2.

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