Ésta demostración es más sencilla y general que la que suele aparecer en los libros de texto, utilizando la circunferencia goniométrica. Se aplica siempre que sumandos y suma sean menores que 180º (mover el vértice C para que el triángulo sea obtusángulo en A, B ó C). La otra demostración solo es válida sin importantes modificaciones si los sumandos y la suma son menores que 90º.

Desplaza el vértice C de manera que su altura quede fuera del lado c, para ver que la demostración también es válida en ese caso.[br][br]Para el seno de la diferencia, utilizando que para ángulos opuestos los senos son opuestos, tenemos que:[br][br]sen(α - β) = sen(α + (-β)) = sen(α)cos(-β) + cos(α)sen(-β)[br][br] = sen(α)cos(β) - cos(α)sen(β) [br][br]Para el coseno de la suma, utlizando que el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario:[br][br]cos(α + β) = sen(π/2 - (α + β)) = sen((π/2 - α) - β) = sen(π/2 - α)cos(β) - cos(π/2 - α)sen(β)[br][br] = cos(α)cos(β) - sen(α)sen(β)[br][br]Y para el coseno de la diferencia:[br][br]cos(α - β) = cos(α + (-β)) = cos(α)cos(-β) - sen(α)sen(-β)[br][br] = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β)