Quando abbiamo conosciuto la definizione delle grandezze goniometriche abbiamo sottolineato il fatto che esse sono definite su un QUALSIASI triangolo rettangolo costruito sui lati dell'angolo: poiché i triangoli ottenuti in questo modo sono tutti [b][color=#ff0000]simili[/color][/b] (=hanno gli angoli uguali), i loro lati sono [b][color=#ff0000]proporzionali[/color][/b] e quindi il rapporto tra lati corrispondenti (p.e. cateto adiacente all'angolo diviso l'ipotenusa) dà sempre lo stesso risultato. Proprio per questo motivo possiamo considerare questo valore una caratteristica dell'angolo: una volta fissata l'ampiezza dell'angolo non dipende dal triangolo su cui la misuriamo.[br][br][b][color=#ff0000]C'è un problema che finora non abbiamo ancora affrontato: gli unici angoli su cui si può costruire un triangolo rettangolo sono quelli acuti: come possiamo definire ed utilizzare le grandezze goniometriche per gli angoli ottusi?[br][/color][/b][br]Vediamo che lo strumento che presentiamo in questo capitolo risolverà anche questo problema. Per introdurlo, tuttavia, partiamo da una considerazione ancora più semplice.[br][br][color=#ff0000][b]Poiché possiamo scegliere un triangolo qualsiasi, una scelta particolarmente interessante è quella di prendere un triangolo con ipotenusa di misura [/b][/color][math]\textcolor{red}{1}[/math]: in questo modo avremo che[br][br][math]\large{\sin\left(\alpha\right) =\frac{\textcolor{red}{cateto\ opposto}}{\textcolor{#009900}{ipotenusa}}\rightarrow\quad \textcolor{#009900}{se\ ipotenusa\ =1}\quad \rightarrow\ \sin\left(\alpha\right)=\frac{\textcolor{red}{cateto\ opposto}}{\textcolor{#009900}{1}}=\textcolor{red}{cateto\ opposto}}[/math][br][br]ed allo stesso modo:[br][br][math]\large{\cos\left(\alpha\right) =\frac{\textcolor{blue}{cateto\ adiacente}}{\textcolor{#009900}{ipotenusa}}\rightarrow\quad \textcolor{#009900}{se\ ipotenusa\ =1}\quad \rightarrow\ \cos\left(\alpha\right)=\frac{\textcolor{blue}{cateto\ adiacente}}{\textcolor{#009900}{1}}=\textcolor{blue}{cateto\ adiacente}}[/math][br][br]Nell'animazione seguente ripetiamo brevemente il percorso che ci ha portato alla definizione delle grandezze goniometriche ed introduciamo questa situazione particolarmente comoda per misurarle e visualizzarle.[br]

In questa prima introduzione abbiamo visto che [b]esiste un triangolo rettangolo di riferimento "speciale", quello la cui ipotenusa misura 1 unità[/b], perché [b]ci permette di esprimere le grandezze goniometriche in modo più semplice e di visualizzarle in modo più immediato[/b] come misura di segmenti (per il momento ci occuperemo di seno e coseno, ci occuperemo della tangente poco più avanti).[br][br]Questo triangolo "speciale" introduce uno strumento particolarmente utile, il [b]cerchio goniometrico[/b]. Nella prossima animazione approfondiamo questi concetti e definiamo i dettagli e le proprietà del cerchio goniometrico.

Abbiamo visto che [b]se riportiamo un angolo all'interno del cerchio goniometrico [/b]possiamo dare delle [b]nuove definizioni di seno e coseno che li rendono particolarmente visibili ed intuitivi[/b]:[br][br][list][*][math]\large{\textcolor{red}{\sin \alpha} : }[/math] la coordinata [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math] del punto [math]\large{P}[/math] in cui il raggio che descrive l'angolo incontra il cerchio goniometrico, cioè [color=#ff0000]quanto l'angolo "si alza o si abbassa"[/color]. [/*][br][*][math]\large{\textcolor{blue}{\cos \alpha} : }[/math] la coordinata [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] del punto [math]\large{P}[/math] in cui il raggio che descrive l'angolo incontra il cerchio goniometrico, cioè [color=#0000ff]quanto l'angolo "si sposta in avanti o indietro"[/color]. [/*][/list][br][anche la tangente può essere rivista all'interno del cerchio, ma parleremo di questa grandezza in un capitolo specifico. Puoi anticipare questo aspetto visualizzando la seconda animazione nel [url=https://www.geogebra.org/m/GedCeBE6#material/SXKzvpeB]capitolo sulla tangente[/url]][br][br]Dato che abbiamo parlato di queste grandezze in diversi modi, prima di proseguire è importante porre l'accento su un aspetto molto importante, per cercare di non fare confusione.[br][br][b][color=#ff0000]ATTENZIONE: [/color][/b]abbiamo appena visto che [color=#ff0000][u][b]SUL CERCHIO GONIOMETRICO[/b][/u][/color] il seno di un angolo COINCIDE con il cateto opposto (cioè con la y del punto P) ed il coseno COINCIDE con il cateto adiacente (la x del punto P). [b][color=#ff0000][u]QUESTO PER[/u][/color][/b][u][b][color=#ff0000]Ò [/color][/b][color=#ff0000][b]È VERO SOLO SUL CERCHIO, DOVE[/b][b] L'IPOTENUSA VALE 1[/b][/color][/u]. [b][color=#ff0000]IN GENERALE VALGONO LE DEFINIZIONI ORIGINALI: IL SENO INDICA LA [u]PROPORZIONE (cioè il RAPPORTO)[/u] TRA CATETO OPPOSTO ED IPOTENUSA (ed analogamente il coseno indica la proporzione tra cateto adiacente ed ipotenusa)[/color][/b].[br][br]Proviamo a fare un esempio per chiarire la differenza tra i due approcci.

Per risolvere correttamente il problema è importante ricordare che il seno di 30° [u][b]NON[/b][/u] è la misura del segmento [math]\overline{CB}[/math], che quindi [u][b]NON[/b][/u] è lungo [math]\large{\frac{1}{2}}[/math]. Il fatto che il seno di 30° valga [math]\large{\frac{1}{2}}[/math] ci dice che in un angolo di 30° la componente di "elevazione" (quella opposta all'angolo) è pari a [math]\textcolor{red}{\large{\frac{1}{2}}}[/math] [b][color=#ff0000]DEL SEGMENTO INCLINATO[/color] (l'ipotenusa), cioè [color=#ff0000]la sua metà[/color].[/b] Abbiamo quindi:[br][br][math]\large{\overline{CB}=\frac{1}{2} \cdot \overline{AC} = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7}[/math][br][br]Otteniamo lo stesso risultato partendo dalla definizione generica di seno:[br][br][math]\large{sin(\alpha)=\frac{\overline{CB}}{\overline{AC}} \implies \ invertendo\ la\ formula\ \implies \overline{CB} = \overline{AC} \cdot sin(\alpha) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7}[/math][br][br][size=150][color=#ff0000]LE RELAZIONI FONDAMENTALI DELLA GONIOMETRIA[/color][/size][br][br]Come anticipato, il cerchio goniometrico permette di ottenere in modo molto diretto le due relazioni fondamentale della goniometria, come diretta conseguenza di quanto appena ottenuto. [br][br]Ricordiamo infatti che [b]nel cerchio goniometrico[/b] valgono tra i lati del triangolo costruito sull'angolo le seguenti relazioni :[br][list][*]l'ipotenusa misura 1, [br][/*][*]il [color=#ff0000][b]cateto opposto[/b][/color] all'angolo coincide con il [color=#ff0000]seno dell'angolo[/color] [br][/*][*]il [color=#0000ff][b]cateto adiacente[/b][/color] all'angolo coincide con il [color=#0000ff]coseno dell'angolo[/color][/*][/list][br][br]Per ottenere [b]la prima relazione fondamentale[/b] possiamo inserire queste considerazioni nel [b]TEOREMA DI PITAGORA[/b] ottenendo:[br][br][math]\large{(ipotenusa)^2=(\textcolor{red}{cateto\ opposto})^2+(\textcolor{blue}{cateto\ adiacente})^2}[/math] sostituendo otteniamo[br][br][math]\large{(1)^2=(\textcolor{red}{sin(\alpha)})^2+(\textcolor{blue}{cos(\alpha)})^2}[/math][br][br]otteniamo quindi la prima relazione fondamentale:[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{sin^2(\alpha)}+\textcolor{blue}{cos^2(\alpha)}=1}[/math][br][br][b]La seconda relazione fondamentale[/b] risulta ancora più immediata: poiché nel cerchio goniometrico seno e coseno coincidono con i cateti del triangolo si ha infatti che[br][br][math]\large{\tan \alpha = \frac{\textcolor{red}{cateto\ opposto}}{\textcolor{blue}{cateto\ adiacente}} = \frac{\textcolor{red}{sin(\alpha)}}{\textcolor{blue}{cos(\alpha)}}}[/math][br][br][b]È importante capire che le due definizioni che abbiamo dato di seno e coseno sul cerchio goniometrico sono solo due modi diversi e particolarmente "comodi" di descrivere le solite proprietà; i loro valori rimangono gli stessi indipendentemente da come ne parliamo[/b]. Anche le relazioni fondamentali quindi valgono a prescindere che stiamo considerando un angolo nel cerchio goniometrico oppure no.[br]

[br][size=150][color=#ff0000]AD UN SENO CORRISPONDONO DUE COSENI - E VICEVERSA[/color][/size][br]Applicando la prima relazione fondamentale abbiamo visto come ottenere il seno a partire dal seno e viceversa. Rivediamo velocemente come:[br] [br][math]\large{\textcolor{red}{sin^2\alpha}+\textcolor{blue}{cos^2\alpha}=1 \qquad \rightarrow \qquad \textcolor{blue}{cos^2\alpha}=1-\textcolor{red}{sin^2\alpha}}[/math][br][br]Applicando una radice per eliminare la potenza ottengo[br][br][math]\large{\textcolor{blue}{cos\ \alpha}=\pm \sqrt{1-\textcolor{red}{sin^2\alpha}}}[/math][br][br]Avevamo già notato come a partire da un certo valore di [math]\large{\textcolor{red}{sin\alpha}}[/math] otteniamo due valori opposti per [math]\large{\textcolor{blue}{cos\alpha}}[/math]. [br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO: Un angolo [math]\large{\alpha}[/math] ha seno che misura [math]\large{\frac{1}{4}}[/math]. Quanto misura il suo coseno? Quanto vale [math]\large{\alpha}[/math]?[br][/color][/b][color=#0000ff]Applicando la formula appena trovata otteniamo:[br][br][math]\large{\textcolor{blue}{cos\ \alpha}=\pm \sqrt{1-\textcolor{red}{sin^2\alpha}}=\pm \sqrt{1-\textcolor{red}{\left ( \frac{1}{4} \right )^2}}=\pm \sqrt{\frac{15}{16}}=\pm \frac{\sqrt{15}}{4}}[/math][br][br]Non avendo altri elementi, non siamo in grado di decidere quale dei due valori (quello positivo o quello negativo) sia il corretto coseno dell'angolo. Di conseguenza tantomeno riusciamo a stabilire la misura dell'angolo stesso.[/color][br][br][b]Grazie alla rappresentazione sul cerchio goniometrico siamo in grado di capire la ragione di questa ambiguità[/b]: nell'animazione presentata sopra, infatti, abbiamo visto due angoli che avevano lo stesso seno ed il coseno opposto: quindi dato un valore del seno (una misura dell'elevazione) abbiamo due possibili valori del coseno: uno spostamento "in avanti", e quindi positivo, ed uno spostamento identico ma "all'indietro", cioè negativo.[br][br]Rivediamo questo caso nell'immagine qui sotto.[br][br]

La stessa ambiguità si ottiene ovviamente ricavando dalla prima legge fondamentale[color=#ff0000][b] il seno[/b][/color].[br][br][math]\large{\textcolor{red}{sin^2\alpha}+\textcolor{blue}{cos^2\alpha}=1\quad \rightarrow \quad \textcolor{red}{sin^2\alpha}=1-\textcolor{blue}{cos^2\alpha}\quad \rightarrow \quad\textcolor{red}{sin\ \alpha}=\pm \sqrt{1-\textcolor{blue}{cos^2\alpha}}}[/math][br][br]Se ho il valore del coseno, cioè un certo spostamento orizzontale, ottengo due valori per il seno, e quindi due angoli caratterizzati dal coseno di partenza: un angolo rivolto verso l'alto (seno positivo) ed uno rivolto verso il basso (seno negativo).

[color=#ff0000][size=150][size=100][color=#000000]Abbiamo già visto due casi di coppie di angoli che hanno grandezze goniometriche in comune - stesso seno o stesso coseno. Ricorderai anche che abbiamo visto che due angoli complementari si scambiano seno e coseno. [br][br]Sono i casi più semplici di una tipologia di relazione più generale, che definiscono coppie di angoli le cui grandezze goniometriche sono legate tra loro. [/color][color=#000000]Queste coppie di angoli si definiscono [/color][b]archi associati[/b][color=#000000], e saranno l'argomento del prossimo capitolo.[/color][/size][/size][/color]