Prima ancora di conoscere le complesse regole della goniometria e delle trigonometria, vediamo a cosa potrà servirci saper lavorare con gli angoli e le loro proprietà. Per fare questo dobbiamo ripassare un concetto che con ogni probabilità hai già incontrato in Fisica: [b]le grandezze vettoriali[/b].[br][br]Ricordiamo che mentre una grandezza si dice "scalare" se è completamente definita da un valore numerico (ad esempio un'età, un prezzo o la massa di un oggetto), le grandezze vettoriali descrivono fenomeni più complessi, e quindi hanno bisogno di più informazioni per essere definite. Vediamo questo concetto nella breve animazione qui sotto.

Una tecnica molto importante che si utilizza lavorando con le grandezze vettoriali è [b]la scomposizione in componenti[/b]. Infatti è molto utile saper vedere una grandezza vettoriale come somma di vettori orientati in certe direzioni: scegliendo in modo opportuno queste direzioni, si può infatti descrivere la grandezza vettoriale come combinazione di fenomeni più facili da interpretare e calcolare. [br][br]Questa operazione, che è strettamente legata alla somma di vettori, è descritta nell'animazione seguente.

L'ultimo esempio mostrato nell'animazione ci permette di intuire la relazione che tutto questo ha con gli angoli e con la goniometria: poiché un vettore e le sue componenti sono inclinati l'uno rispetto alle altre [b]di un certo angolo[/b], se vogliamo sapere la lunghezza di questi vettori (cioè il loro modulo) abbiamo bisogno di conoscere come si lavora con gli angoli. [br][br]Vediamo il concetto in termini più generali qui sotto.

Vediamo ora un primo esempio in cui, dato un vettore di conosciamo il modulo (cioè la lunghezza), riusciamo a [b]calcolare il modulo (cioè la lunghezza) di una delle sue componenti[/b]. Potremo svolgere questo calcolo perché inclineremo il vettore di un angolo molto particolare, che ha proprietà che ci aiuteranno.

[size=150][color=#ff0000]DAL RISULTATO PARTICOLARE AL CONCETTO GENERALE[/color][/size][br][br]Riportiamo qui sotto la figura che abbiamo utilizzato, per poter ragionare sul risultato ottenuto.

La figura mostra come, grazie ai nostri calcoli, siamo riusciti ad ottenere la misura delle due componenti [i][b][color=#ff0000]rispetto a quella del vettore originale[/color][/b][/i]: per un vettore inclinato di 60° rispetto all'orizzontale abbiamo ottenuto che[br][list][*]la componente orizzontale è pari a [b]metà - cioè[/b] [math]\large{\textcolor{0,100,0}{\frac{1}{2}}}[/math] [b]- del vettore originale[/b][br][/*][*]la componente verticale è pari a [math]\large{\textcolor{255,127,0}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}[/math] [b]del vettore originale[/b][br][/*][/list][b]Questi due coefficienti[/b] ci permettono di capire come l'inclinazione del vettore ne "distribuisca" la lunghezza nelle due direzioni scelte, e [b]possono essere considerati delle caratteristiche dell'angolo di 60°[/b].[br][br][b][color=#0000ff]IL CASO GENERALE[br][/color][/b]Nel nostro esempio abbiamo scomposto un vettore inclinato di un certo angolo [math]\large{\alpha}[/math] rispetto al suolo nelle sue componenti orizzontale e verticale; partendo dalla misura di [math]\large{\alpha}[/math] abbiamo ottenuto a quale [b]frazione[/b] del vettore originale corrispondeva ognuna delle due componenti.[br][br][b]Passando ad un caso più generale[/b], vediamo ora cosa di questo esempio rimarrà uguale e cosa invece deve essere riformulato. [br][list=1][*]In teoria potremmo scomporre un vettore lungo direzioni qualsiasi ma di fatto vedremo che [b][color=#0000ff]lavoreremo [u]sempre[/u] con direzioni perpendicolari tra loro[/color][/b], quindi [b][color=#0000ff]le due componenti di fatto saranno, in termini puramente geometrici, i due cateti di un triangolo rettangolo, di cui il vettore originale è l'ipotenusa[/color][/b]. [/*][*]Il caso di componente "orizzontale" e verticale" è un esempio specifico: in generale le direzioni lungo le quali scomporre il vettore possono essere qualsiasi, [color=#0000ff][b]in generale[/b][/color] non [color=#0000ff][b]si parla[/b][/color] di componente "orizzontale" o "verticale" ma [b][color=#0000ff]del [/color][color=#38761d]cateto "adiacente all'angolo"[/color][color=#0000ff], cioè che lo tocca[/color][/b] (nel nostro esempio quello [color=#38761d]verde[/color])[color=#0000ff], [/color][b][color=#0000ff]e [/color][color=#ff7700]quello opposto all'angolo[/color][/b] (nel nostro esempio l'[color=#ff7700]arancione[/color]). Vedi anche l'esempio riportato sotto.[br][br][/*][/list]

[color=#ff0000]Diamo ora due prime definizioni GENERALI delle grandezze goniometriche che stiamo conoscendo.[br][/color][b][br][color=#38761d]I[/color][/b][b][color=#38761d]l [/color][/b][b]rapporto tra il cateto [/b](componente, nei nostri esempi) [b]adiacente all'angolo e l'ipotenusa [/b](il vettore originale dei nostri esempi) [color=#38761d][b]viene chiamato [/b][/color][b][color=#38761d]coseno dell'angolo[/color][/b].[br][br]Considerando il nostro primo esempio e partendo dalla relazione [math]\large{v_o = \textcolor{0,100,0}{\frac{1}{2}} v}[/math] , possiamo dire anche che [math]\large{\frac{v_o}{v} = \textcolor{0,100,0}{\frac{1}{2}} = \textcolor{0,100,0}{\cos (60°)}}[/math].[br][br][color=#ff7700][b]Il rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa Il coefficiente "arancione" è chiamato [color=#ff7700][b]seno dell'angolo[/b][/color][/b][/color].[br][br]Sempre riconsiderando il primo esempio abbiamo: [br] [math]\large{v_v = \textcolor{255,127,0}{\frac{\sqrt{3}}{2}}v \rightarrow \frac{v_v}{v} = \textcolor{255,127,0}{\frac{\sqrt{3}}{2}}= \textcolor{255,127,0}{\sin (60°)}}[/math].[br][br]Abbiamo fatto quindi la nostra prima scoperta di goniometria: [math]\large{\textcolor{0,100,0}{\cos(60°) = \frac{1}{2}}}[/math] e [math]\large{\textcolor{255,127,0}{\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}}}[/math].[br][br]I due numeri che abbiamo ottenuto si riferiscono all'angolo particolare di 60°; rivediamo quindi innanzitutto la definizione generale di seno e coseno in questa breve animazione.

[size=85]Stiamo scoprendo che un qualsiasi angolo [math]\large{\alpha}[/math], possiamo definire il seno ed il coseno di [math]\large{\alpha}[/math] costruendo sui suoi lati un triangolo [u][b]rettangolo[/b][/u], cioè scomponendo uno dei due lati nella direzione dell'altro lato ed in quella perpendicolare ad esso. [br][br]Definiamo il [color=#ff7700][b]seno dell'angolo[/b][/color] il rapporto tra il [b][color=#ff7700]cateto opposto[/color][/b][color=#ff7700][b] all'angolo[/b][/color] (quella che nell'esempio iniziale era la componente "verticale") [color=#ff7700][b]e l'ipotenusa[/b][/color] (il vettore inclinato dell'angolo [math]\large{\alpha}[/math]), mentre il [b][color=#274e13]coseno dell'angolo[/color][/b] è il rapporto tra il [b][color=#38761d]cateto adiacente all'angolo[/color] [/b](quella che nell'esempio iniziale era la componente "verticale")[b] [color=#38761d]e l'ipotenusa[/color][/b].[/size][br][br][color=#ff0000]Una osservazione molto importante è che i due cateti sono sempre minori dell'ipotenusa (nel nostro esempio, le componenti del vettore sono sempre minori... [i]o uguali[/i] al vettore originale), quindi [b]seno coseno di un angolo sono sempre due numeri inferiori o uguali a 1[/b][/color].[br][br]È evidente che se avessimo considerato un angolo molto piccolo [color=#38761d][b]la componente orizzontale[/b][/color] sarebbe stata quasi uguale al vettore originale (e quindi avremmo ottenuto un [b][color=#38761d]coseno[/color][/b] di poco inferiore ad uno), mentre la [color=#ff7700][b]componente verticale[/b][/color] sarebbe stata una frazione minima del vettore (e quindi il [color=#ff7700][b]seno[/b][/color] sarebbe stato un numero molto piccolo e vicino allo zero). Puoi visualizzare quanto detto nell'immagine sotto.

Al contrario per un angolo di poco inferiore a 90° avremo un [color=#38761d][b]coseno[/b][/color] molto piccolo ed una componente verticale quasi identica al vettore originale (e quindi un [color=#ff7700][b]seno[/b][/color] di poco inferiore ad 1).

Allo stesso modo puoi ipotizzare come saranno il seno ed il coseno degli altri angoli, in particolare di quelli mostrati nell'animazione "GLI ANGOLI E LE COMPONENTI DI UN VETTORE" vista prima.[br][br][table][tr][td][color=#ff0000][b][size=150]Seguendo questo ragionamento, puoi ipotizzare quanto vale il seno di 90°? Ed il suo coseno? Cerca di dedurre quanto valgono seno e coseno di 0°.[/size][/b][/color][/td][/tr][/table][br][table][tr][td][b][color=#ff0000]Secondo te p[size=150]er quale angolo otterremo che i due coefficienti sono uguali? [/size][/color][/b][/td][/tr][/table][br][size=150][color=#ff0000]UNA TERZA DEFINIZIONE... ED UN VECCHIO CONOSCENTE[br][/color][/size]Esiste una terza grandezza goniometrica fondamentale, che è in relazione con le prime due ma ha un suo significato ed una sua utilità distinte.[br][b][br]Definiamo tangente di un angolo [math]\large{\alpha}[/math] il rapporto tra la componente opposta all'angolo (cateto opposto) e quella adiacente (cateto adiacente).[/b]

Se riproponiamo la stessa immagine in un formato leggermente diverso, vediamo che nell'ambito della geometria analitica la tangente coincide con un'importante caratteristica della retta.