Vektorrechnung mit GeoGebra3D
GeoGebra-Buch, bei dem die 3D-Ansicht intensiv genutzt wird, um euch beim Erlernen der Linearen Algebra/Analytischen Geometrie zu unterstützen. Ihr könnte viele Dinge ausprobieren und mit Hilfe er 3D-Ansicht immer einen räumliche Eindruck gewinnen. Ergänzt werden die Zeichnungen um interaktive Quizze, die auf der Seite LearningApps.org erstellt wurden.
Table of Contents
- Einführung in das 3D-Koordinatensystem
- In 3D zurechtfinden ... die Ansicht drehen!
- Orientierung im Raum - Vorbereitung
- Orientierung im Raum - Variante 1: Probieren durch Schieben
- Orientierung im Raum - Variante 1: Eingabe der Punkte
- Orientierung im Raum - Variante 2: Probieren durch Schieben
- Orientierung im Raum - Variante 2: Eingabe der Punkte
- Unbenanntes Arbeitsblatt
- Unbenanntes Arbeitsblatt
- ÜBUNG Multiplikation zweier Matritzen miteinander
- Anwendungsaufgaben zu 3D-Koordinaten
- ÜBUNG: Quader durch Schieben der Punkte einzeichnen.
- ÜBUNG: Quader durch Eingabe der Punkte einzeichnen.
- ÜBUNG: Quader durch Eingabe der Punkte einzeichnen (2)
- ÜBUNG: Pyramide durch Eingabe der Punkte einzeichnen
- Addition von Vektoren in 2D - zeichnerisch und rechnerisch
- Summe aus den Koordinaten berechnen
- Verknüpfung von Verschiebungen
- So addiert man also Vektoren ... eine Zusammenfassung
- ÜBUNG 1: Bilde die Summe von drei Vektoren
- ÜBUNG 2: Addition von Vektoren zeichnerisch
- Addition von Vektoren in 3D
- Informationen zur (alten) Algebra-Ansicht
- ÜBUNG: Kanten einer dreiseitigen Pyramide bestimmen (1)
- ÜBUNG: Kanten einer dreiseitigen Pyramide bestimmen (2)
- ÜBUNG: Quadratische Pyramide ergänzen
- ÜBUNG: Unfertigen Spat ergänzen
- Komplanarität von 3 Vektoren in Ebene überprüfen (2)
- Geraden
- Parametergleichung Gerade 2D mit zwei Punkten verdeutlichen
- Parametergleichung Gerade 2D mit zwei Vektoren verdeutlichen
- Ebenen
- Parameterform bei Ebenen verstehen (1)
- Parameterform bei Ebenen verstehen (2)
- Parameter-Darstellung einer Ebene durch drei Punkte
- Koordinatenform von Ebene mit variablen Koeffizienten ...
- Normalenform von Ebenen darstellen
- Skalarprodukt
- Untersuchung des Skalarproduktes
- Wie wirkt sich der Cosinus auf das Skalarprodukt aus?
- Matrizen in 2D und 3D
- Wie wirkt sich eine 2D Abbildungsmatrix aus?
- Hilfsmittel für Drehmatrizen - Einheitskreis
- ÜBUNG Multiplikation zweier Matritzen miteinander
- Finde eine Abbiltungsmatrix für 3D nach 2D
- Abbildung eines 3D-Würfels in die Ebene mit einer Matrix
In 3D zurechtfinden ... die Ansicht drehen!
[b][i]Nun auch in 3D!!!![/i][/b][br][br]Bisher haben wir uns überwiegend mit zwei Koordinaten abgegeben. Aber vieles braucht auch noch eine dritte Dimension. Auf dem PC muss allerdings immer noch alles in 2D angezeigt werden ... du verstehst, was ich meine!? ... der Bildschirm![br][br]Das führt dazu, dass manche Dinge nicht so aussehen, wie sie erscheinen. In der Realität guckt man die Sachen von der Seite an, indem man sich einfach etwas zur Seite bewegt oder lehnt. In GeoGebra musst du aber die Ansicht drehen. Und das sollst du hier üben![br][br][b]Dazu eine Zeichnung ... schau dir die Punkte und Geraden an. Kannst du erkennen, wie sie zueinander liegen?[/b][br][list][br][*]Welche Punkte liegen in 3D übereinander ... also nicht nur in der Darstellung auf dem Bildschirm?[br][*]Wie liegen die drei Geraden zueinander?[br][*]Welche Punkte liegen auf der grünen Gerade A?[br][*]Welche der Punkte liegt über und welcher unter dem Gitter der x-y-Ebene?[br][/list][br][br]Nimm dir Zeit und guck dir einfach mal alles so an ... [i]nach der Zeichnung steht, wie es weiter geht.[/i]
In 3D zurechtfinden ... die Ansicht drehen!
Okay ... schon Ideen?[br][br]Du könntest es testen und ausprobieren, ob du alles so gleich richtig erkennst ... und dann [url=]hier[/url] im Quiz probieren, was richtig ist![br][br]Oder du schaust dich tatsächlich um. Das kannst du mit Hilfe der rechten Maustaste mache. Halte die rechte Maustaste gedrückt und bewege die Maus langsam. Dann kannst du die Fragen des Quizzes sicher beantworten!
ÜBUNG: Quader durch Schieben der Punkte einzeichnen.
Da du dich nun mit Koordinaten im 3-dimensionalen Raum auskennst, sollst du dein Wissen nutzen, um einen Quader zu zeichnen.[br][br][b]AUFGABE:[/b] Es soll ein Quader gezeichnet werden, der folgende Größe hat.[br][list][br][*] Länge/Tiefe (in x-Richtung) 3 LE[br][*] Breite (in y-Richtung) 7 LE[br][*] Höhe (in z-Richtung) 4 LE[br][/list][br][br]Du bewegst einen Punkt, indem du ihn mit der linken Maustaste festhältst. Üblicherweise kannst du den Punkt erst einmal nur parallel zur xy-Ebene (der Gitterebene) bewegen. Klicke den Punkt kurz an und du kannst ihn hoch/runter bewegen. Klicke ihn noch einmal an und die Bewegung ist wieder parallel zur xy-Ebene.[br]Die Position des Punktes kannst du durch drehen der Ansicht kontrollieren oder du betrachtest die Koordinaten im Algebra-Fenster links.[br][br]Hast du alle Punkte einer Seitenfläche gezeichnet, zeichne diese mit Hilfe des Polygon-Werkzeuges ein. So kannst du auch besser erkennen, ob dein Quader richtig ist.[br][br][b]TIPP:[/b] [i]Im nächsten Übungsblatt sollst du wieder einen Quader zeichnen, aber diesmal den Punkt über die Eingabezeile angeben. Schau dir jetzt schon mal die Koordinaten der Punkte an, damit du in der nächsten Aufgabe keine Probleme haben wirst. [/i]
Summe aus den Koordinaten berechnen
Gegeben sind zwei Vektoren [math]\vec{u}[/math] und [math]\vec{v}[/math] , die zufällig erzeugt werden. Von ihnen sind die Koordinaten angegeben.[br][br]Vom Vektor [math]\vec{w}[/math] kannst du Anfangs- und Endpunkt bewegen.
[b]Aufgabe:[/b][br][list][br][*]Berechne aus den Koordinaten der Vektoren u und v die Summe und zeichne dann w so ein, dass er der Summe von u und v entspricht.[br][*]Dazu ist es sinnvoll w als Ortsvektor einzuzeichnen, weil man so die Koordinaten von w besser ablesen kann! Dir wird angezeigt, wenn w richtig ist.[br][/list]
Informationen zur (alten) Algebra-Ansicht
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Parametergleichung Gerade 2D mit zwei Punkten verdeutlichen
Parameterform bei Ebenen verstehen (1)
Im ersten Teil zu der Parameterdarstellung der Ebenen geht es darum zu verstehen, was Stützpunkt/Stützvektor und die Spannvektoren bedeuten.[br][br]Man kann die Ansicht drehen, entweder mit der rechten Maustaste oder am Mobilgerät einfach mit dem Finger. Die gelben Tasten setzen die Ansicht in eine langsame Drehung, so dass man die Darstellung von allen Seiten sehen und sich gleichzeitig auf den Text konzentrieren kann.[br][br]Willst du noch einmal alles von vorne anschauen, lade die Seite neu oder klicke auf die zwei runden Pfeile.[br]
Untersuchung des Skalarproduktes
Mit dem folgenden GeoGebra-Arbeitsblatt kannst du die Eigenschaften des [b]Skalarproduktes [/b]untersuchen.[br][br]Du kannst für das Skalarprodukt untersuchen ...[br][list][br][*]welche Bedeutung der Winkel zwischen den Vektoren hat.[br][*]wie die Längen der Vektoren es beeinflussen.[br][/list][br][br]Dazu gibt es zwei Kontrollkästchen mit Hilfsmittel[br][br]Unter der Zeichnung findest du Anweisungen, was du genau untersuchen sollst, und wie du es im Heft festhalten sollst.
[b]AUFGABEN:[/b][br][br]Stelle fest …[br][list=1][br][*] … wann das Skalarprodukt Null ist und versuche zu verallgemeinern, wann das der Fall ist. Lasse dazu erst einmal alle Hilfsmittel ausgeschaltet. Später kannst du auch wieder den Winkel sichtbar machen.[i] [b]HINWEIS: Versuche auch Vektoren finden, für die die Spitzen nicht auf den Achsen liegen![/b] Halte das Ergebnis als Satz fest.[/i][br][*] … wie sich das Skalarprodukt aus den Vektoren berechnen lässt. [b]Schalte dazu alle Hilfsmittel aus.[/b] Probiere ein wenig herum und betrachte die Koordinaten der Vektoren und das Skalarprodukt. Wenn du Wenn du den Zusammenhang zwischen Vektoren und Produkt erkannt hast, halte als Ergebnis 2 Beispiele mit Vektoren im Heft fest (Zeichnung!) und berechne dazu schriftlich (im Heft) das Skalarprodukt.[br][*] … wann das Skalarprodukt direkt aus den Längen der Vektoren berechnet werden kann. Schalte dazu den Winkel an, lege die Längen fest und schalte den Punktefang aus.[i] [b]HINWEIS: Mit den blauen Punkten links kannst du die Länge der Vektoren variieren. [/b] Probiere nun herum, bis du siehst, wann und wie das Skalarprodukt direkt von den Längen der Vektoren abhängt.[br][/list][/i]
Wie wirkt sich eine 2D Abbildungsmatrix aus?
Beispiele: Finde Matrizen für spezielle Abbildungen, wie Achsen- und Punkt-Spiegelung, Verschiebung, usw. ..