Det lyder stort, "fundamentalsætning", i matematik, hvor det hele udtrykkes i sætninger som bevises. Det er faktisk også lige stort nok til gymnasiet, for vi har ikke [i]reelle[/i] løsninger som fuldstændiggør denne sætning. Vi bringer den dog alligevel (mens vi venter på de komplekse tal):[br][quote]Et polynomium har lige så mange rødder som dets grad angiver[/quote]Med rødder menes værdier af den uafhængige variabel, [i]x[/i], som giver et nul-output.[br][br][b]Eksempel[/b]: Polynomiet [math]p\left(x\right)=x^2-x[/math] er af anden grad. Det har derfor 2 rødder. Vi kan faktorisere [i]p[/i] og får [math]p\left(x\right)=x\left(x-1\right)[/math], hvor nulreglen tilsiger, at produktet er nul i begge de tilfælde, hvor en faktor er nul. Det vil sige for [math]x=0\vee x=1[/math].

[br]Hvis du kan dele et funktionsudtryk (fx et polynomium) op i [b]faktorer[/b], kan du finde rødder ved nulreglen, da blot en af faktorerne skal være nul for at det samlede produkt er nul. En måde at finde sådanne faktorer på er at gætte på et polynomium af lavere grad og så dividere det oprindelige polynomium med dit gæt.[br][url=https://www.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-polynomials/alg-long-division-of-polynomials/v/polynomial-division][img]https://cdn.kastatic.org/images/khan-logo-vertical-transparent.png[/img][/url]Her kan du se [url=https://www.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-polynomials/alg-long-division-of-polynomials/v/polynomial-division]den indledende video[/url], som Sal Khan har lavet om [b]at dividere polynomier[/b]. Der er en opfølger, en nummer to, som også kan være relevant at se. Bemærk, at videoerne er indtalt på engelsk.

(a) Opløs polynomiet [math]p\left(x\right)=9x^2-1[/math] i faktorer [math]f_1[/math] og [math]f_2[/math], så du altså kan opskrive [url=https://ggbm.at/v6AhcMxM]produktfunktionen [/url][math]\left(f_1f_2\right)\left(x\right)=p\left(x\right)[/math].[br](b) Tegn grafer for de tre funktioner [math]f_1,f_2,p[/math] i samme koordinatsystem (udnyt GeoGebra ved først at navngive og plotte de to faktorer og først derefter indtaste produktfunktionen som [math]f_1f_2[/math][br](c) Find nulpunkter i [math]p[/math] ved hjælp af [math]f_1[/math] og [math]f_2[/math]. Udpeg nulpunkterne ved at skrive i grafen: "Nulpunkt for [math]f_1[/math]", "Nulpunkt for [math]f_2[/math]" og "Nulpunkter for [math]p[/math]".

Betragt fjerdegradspolynomiet [math]p\left(x\right)=\text{10 x^4 -41 x^3 + 29 x^2 + 41 x - 39}[/math].[br](a) Undersøg, om [math]2x-3[/math] går op i [math]p[/math]. Redegør for din fremgangsmåde.[br](b) Undersøg, om [math]x+1[/math] går op i [i]p[/i].[br](c) Undersøg, om [math]5x-13[/math] går op i [i]p[/i].[br](d) Undersøg, om [math]x-1[/math] går op i [i]p[/i].[br](e) Tegn grafer for de fire faktorfunktioner (førstegradspolynomier) og for produktfunktionen (fjerdegradspolynomiet [math]p[/math], alle fem i samme koordinatsystem.[br](f) Find nulpunkter (dvs. rødder) i [math]p[/math] og redegør for hvordan du [b]analytisk[/b] kan bestemme disse rødder.[br](g) Søg bekræftelse/afkræftelse af korrektheden af dine beregninger i grafen for [math]p[/math][br] og redegør for sammenligningen mellem analytisk og grafisk løsning