[color=#ff00ff][size=50][right][color=#980000][i][b]Diese Seite ist April 2018 erstellt, verbesserte Fassung 2019[/b][/i][/color][br]Das Sechseck kann bewegt werden, falls das Chaos ([color=#00ff00][i][b]siehe auch das Lob an GeoGebra ganz unten!)[/b][/i][/color] entgleist, hilft der [color=#ff0000][i][b]refresh-Knopf[/b][/i][/color]![/right][/size][/color][right][size=50]Dieses Arbeitsblatt ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV]Sechsecknetze[/url].(April 2018)[br][/size][size=50]Diese Seite ist inzwischen auch Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff0000]Juli 2019[/color])[/size][br][/right][br]"[i]Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen[/i]" ist ein Artikel von [b]Walter Wunderlich[/b] betitelt [br]([i][b]1938[/b][/i] [size=50]siehe auch die Literaturangabe auf der Seite "[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/vhc7kemu]Ein besonderes Dreiecksnetz[/url]" im geogebra-book moebiusebene[/size]). [size=85][br][br]Wir wollen die Kurven-Netze, die in der Literatur oft als [i][b]Dreiecksnetze[/b][/i] bezeichnet werden, weiterhin [i][b]6-Ecknetze[/b][/i] nennen. [br]Die Kurven dreier Kurvenscharen erzeugen einzeln trivialerweise Dreiecke, falls sie sich nicht in einem Punkt schneiden [br]oder berühren. Wesentlich ist an den hier untersuchten Netzen, dass sich die [i][b]Sechseck-Figur[/b][/i], die man um [br]einen Punkt [b][color=#ff0000]P[sub]0[/sub][/color][/b] wie im Applet bilden kann, schließt![br][/size][size=85]Das oben angezeigte 6-Ecknetz ist ganz besonders "sensibel": die Gründe liegen in der komplizierten Konstruktion.[br]2-teilige bizirkulare Quartiken besitzen 4 paarweise orthogonale Symmetriekreise. Mit einer geeigneten [br]Möbiustransformation kann man sie stets symmetrisch zu den Achsen und zum Einheitskreis darstellen. [br]Der 4. Symmetriekreis ist imaginär.[/size][size=85][br]Die Gleichung der oben konstruierten 2-teiligen Quartik lautet[br][list][*][math]\left(z\bar{z}\right)^2-\left(s^2+\frac{1}{s^2}\right)\cdot x^2-\frac{\left(\left(f^2+\frac{1}{f^2}\right)\cdot\left(s^2+\frac{1}{s^2}\right)-4\right)\cdot f^2}{\left(f^2-s^2\right)\cdot\left(f^2-\frac{1}{s^2}\right)}\cdot y^2+1=0[/math], [br]wobei [math]f[/math] die Brennpunkte und [math]s[/math] die Scheitel auf der [math]x[/math]-Achse festlegen.[/*][/list][/size][size=85]Die Quartik besitzt 4 Scharen doppelt-berührender Kreise ([size=50]im Applet oben als DB-Kreise bezeichnet[/size]) - zu jeder Symmetrie gehört [br]eine Schar. Die [/size][math]x[/math][size=85]-achsensymmetrischen Kreise liegen im "Inneren" der Kurve, auf derselben Seite wie die Brennpunkte, [br]die übrigen Kreise liegen im "Äußeren". Durch jeden Punkt im "Äußeren" gehen 6 Kreise aus den verbleibenden 3 Scharen. [br]Manche dieser Kreise berühren die Quartik in nicht-reellen Punkten.[br]Wählt man 3 der DB-Kreise durch einen Punkt und deren Nachbarkreise aus verschiedenen Scharen, so entsteht [br]ein 6-Ecknetz! Ein Bild von solchen Netzen haben wir [i]original[/i] nur in dem Artikel von [b]Wunderlich[/b] gesehen [br](Damals gab es noch keine Geometrie-Software, nur Zirkel und Lineal!)[br]Grundlage der obigen Konstruktion ist eine einfache, aber zentrale Eigenschaft der doppelt-berührenden Kreise:[br]Wählt man einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpukte[/b][/i][/color] aus, so liegen dessen Spiegelbilder bezüglich der doppelt-berührenden Kreise [br]auf zur [math]x[/math]-Achse symmetrischen Kreisen - den [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color]; ein Spezialfall dieser Eigenschaft liegt bei Kegelschnitten vor. [br] Nach der Vorgabe der Brennpunkte und der Scheitel, und damit der Scheitelkreise, kann man die [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] konstruieren.[br]Mit diesen [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color] kann man nun wieder die doppelt-berührenden Kreise, die Berührpunkte und [br]somit die [color=#ff7700][i][b]Quartik als Ortskurve[/b][/i][/color] "konstruieren". [br]Um doppelt-berührende Kreise durch einen [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] im Äußeren zu konstruieren, sind mitunter 5 oder mehr Kreise [br]und/oder Geraden notwendig. Nur wenige davon werden oben schwach angezeigt. [br]Die Konstruktion ist daher nicht nur aus diesen Gründen im wahrsten Sinne des Wortes "[i][b]komplex[/b][/i]". [br]Schnittpunkte von Kreisen sind Lösungen quadratischer Gleichungen und können komplex sein. [br][b]Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]Gebra[/b] reagiert auf die Winkel in komplexen Ausdrücken oft mit plötzlichen Wechseln von [math]0[/math] auf [math]\pi/2[/math] oder [math]\pi[/math] [br]([color=#980000][i][b][size=50]Nachtrag 2019: die Einstellung auf "kontinuierlich" haben das Problem entschärft![/size][/b][/i][/color]). Das kann zur Folge haben, [br]dass in dem Sechseck plötzlich zu einem nicht mehr benachbarten doppelt-berührenden Kreis gewechselt wird. [br]Dieses Phänomen zeigen auch die [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV#material/qR2Gpdhe]Kreisballette[/url]. [br][color=#980000][i][b][size=50]Nachtrag 2019: der Wechsel auf die erweiterte Eigenschaft "Kontinuität" hat allerdings zur Folge, dass der Punkt P_1 mehrere Male [br]den Kreis durch P_0 durchlaufen muss, bis alle Punkte des 6-Ecks wieder in der Nähe sind und das 6-Eck zu erkennen ist![/size][/b][/i][/color][br][br]Zu bizirkularen Quartiken, Leitkreisen etc. siehe auch unser GeoGebrabook [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh][b]Kegelschnitt-Werkzeuge[/b][/url]. [br][/size][size=50][br][color=#0000ff][b][size=85]Es ist nahezu unvorstellbar, dass sich bei einer Bewegung der Figur nach einer schier endlosen Anzahl von komplexen Berechnungen gegen Ende wieder die Ordnung vom Anfang einstellt: eigentlich müßte eine einzige fehlerhafte Schnittpunktsberechnung das Chaos auslösen. Ein Lob auf GeoGebra! [/size][/b][/color][/size]