Con GeoGebra prova a vedere cosa succede quando si effettuano due simmetrie assiali, una dopo l’altra, e queste simmetrie hanno gli assi di simmetria perpendicolari tra loro.[br][size=150][color=#ff00ff][br][b]Segui i seguenti passi[/b][/color][/size][br][list][*][justify]Disegna il primo asse di simmetria con lo strumento [b]Retta[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon],[/justify][/*][*][justify]disegna il secondo asse di simmetria, perpendicolare al primo e passante per A o B, con lo strumento [b]Retta perpendicolare[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon],[/justify][/*][*][justify]con lo strumento [b]Angolo[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_angle.png[/icon] metti in evidenza l’angolo retto formato dai due assi di simmetria,[/justify][/*][*][justify]disegna un triangolo con lo strumento [b]Poligono[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_polygon.png[/icon],[/justify][/*][*][justify]con lo strumento [b]Simmetria assiale[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratline.png[/icon] fai la composizione delle due simmetrie assiali.[/justify][/*][/list]
[color=#ff00ff][size=150][b]Esegui qui la costruzione[/b][/size][/color]
[color=#ff00ff][size=150][b]Verifica la costruzione fatta usando la Barra di navigazione[/b][/size][/color]
[color=#ff00ff][size=150][b]Rispondi alle domande[/b][/size][/color][br][br][justify]Osserva il triangolo iniziale e il suo simmetrico. Secondo te, sono congruenti? Motiva la tua risposta anche con l’aiuto degli strumenti di GeoGebra.[/justify]
I due triangoli sono congruenti perché i segmenti e gli angoli corrispondenti sono congruenti.
[justify][/justify][justify]Secondo te, esiste un’isomeria che manda direttamente C in C′′, D in D′′ e E in E′′? Se si quale?[br]Per rispondere alla domanda o per verificare la tua ipotesi gli strumenti di GeoGebra che possono aiutarti sono:[/justify][list][*][justify]lo strumento [b]Segmento[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon] per congiungere un vertice della figura iniziale con il suo corrispondente nella figura finale,[/justify][/*][*][justify]lo strumento [b]Punto medio o centro[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_midpoint.png[/icon] per individuare i punti medi dei segmenti che congiungono vertici corrispondenti.[/justify][/*][/list]
[justify]L'isometria che manda direttamente C in C′′, D in D′′ e E in E′′ è la simmetria centrale che ha come centro il punto di intersezione tra gli assi. [br]Infatti i segmenti che hanno per estremi due punti corrispondenti:[br][/justify][list][*]passano tutti per il punto d'intersezione degli assi di simmetria; [br][/*][*]il loro punto medio coincide con il punto d'intersezione degli assi di simmetria.[/*][/list]
[justify]Le proprietà che hai scoperto restano valide anche se muovi i punti con lo strumento [b]Muovi[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon]? E se muovi gli assi di simmetria?[/justify]
Muovendo i punti del piano o muovendo gli assi di simmetria le proprietà restano valide.
[justify]Prova quindi a completare la definizione dell’isometria studiata (composizione di due simmetrie assiali con assi di simmetria perpendicolari tra loro):[br]“Ad ogni punto P del piano questa isometria associa un punto P’ tale che...[/justify]
...il punto medio del segmento PP' coincide con il punto di intersezione degli assi di simmetria.
[justify]Quale strumento di GeoGebra potresti utilizzare per avere un’ulteriore conferma che la composizione di due simmetrie assiali con assi perpendicolari è una particolare isometria?[/justify]
[justify]Per verificare che la composizione di due simmetrie assiali con assi perpendicolari è una simmetria centrale si può utilizzare lo strumento [b]Simmetria centrale[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratpoint.png[/icon]. [br]Infatti basta disegnare il simmetrico del triangolo CDE rispetto al punto d'intersezione degli assi di simmetria e verificare che coincida con il triangolo C''D''E''.[/justify]
[justify]Quali rette “notevoli” del piano cartesiano si possono utilizzare per effettuare una composizione di simmetrie assiali con assi perpendicolari?[br][/justify]
Si possono utilizzare gli assi cartesiani.
Prova ad applicare quanto imparato a queste rette "notevoli".[br][br][color=#ff00ff][size=150][b]Segui i seguenti passi[/b][br][br][/size][/color][list][*][justify]nella vista Grafici lasciare sia la griglia che gli assi cartesiani,[/justify][/*][*][justify]con lo strumento [b]Punto [icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon][/b] individua i seguenti punti nel piano cartesiano: A(3,2), B(5,0), C(0,1) e D(−1,4) e scegli nella barra degli stili Nome e Valore in modo che le coordinate siano visibili nella vista Grafici,[/justify][/*][*][justify]con lo strumento [b]Simmetria assiale [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratpoint.png[/icon][/b] trova i simmetrici A′, B′, C′ e D′ dei punti dati rispetto all'asse delle ordinate.[/justify][/*][/list]
[color=#ff00ff][size=150][b]Esegui qui la costruzione[/b][/size][/color]
[color=#ff00ff][size=150][b]Verifica la costruzione fatta usando la Barra di navigazione[/b][/size][/color]
[color=#ff00ff][size=150][b]Rispondi alla domanda[/b][br][/size][/color][br]Osserva le coordinate dei simmetrici. Secondo te, esiste una relazione che lega le coordinate di uno dei punti dati e del suo simmetrico rispetto all'asse y?
La simmetria rispetto all'asse y cambia il segno alle ascisse dei punti e lascia invariate le ordinate.
[color=#ff00ff][size=150][b]Segui i seguenti passi[/b][/size][/color][br][br][justify][/justify][list][*]Dalla vista Algebra nascondi i punti A, B, C e D,[br][/*][*]con lo strumento [b]Simmetria assiale[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratline.png[/icon] trova i simmetrici A′′, B′′, C′′ e D′′ dei punti A′, B′, C′ e D′ rispetto all'asse delle ascisse.[br][/*][/list]
[color=#ff00ff][size=150][b]Esegui qui la costruzione[/b][/size][/color]
[color=#ff00ff][size=150][b]Verifica la costruzione fatta con la Barra di navigazione[/b][/size][/color]
[size=150][color=#ff00ff][b]Rispondi alla domanda[/b][/color][/size][br][br]Osserva le coordinate dei punti simmetrici. Secondo te, esiste una relazione che lega le coordinate di uno dei punti dati e del suo simmetrico rispetto all'asse x?
La simmetria rispetto all'asse x cambia il segno alle ordinate dei punti e lascia invariate le ascisse.
[justify][size=150][color=#ff00ff][b]Segui il seguente passo[/b][/color][br][/size][/justify][list][*][justify]Dalla vista Algebra mostra solo i punti A, B, C, D, A′′, B′′, C′′, D′′[/justify][/*][/list]
[color=#ff00ff][size=150][b]Esegui qui la costruzione[/b][/size][/color]
[color=#ff00ff][size=150][b]Verifica la costruzione fatta con la Barra di navigazione[/b][/size][/color]
[color=#ff00ff][size=150][b]Rispondi alle domande[/b][/size][/color][br][br][justify]Osserva le coordinate di A e di A′′. Secondo te, esiste una relazione che lega le coordinate di uno dei punti e del trasformato rispetto alla composizione delle due simmetrie?[/justify]
La composizione delle due simmetrie cambia i segni di ascisse e ordinate dei punti.
[justify]Quale isometria manda direttamente il punto A in A′′, B in B′′, C in C′′ e D in D′′? Verifica la risposta anche con lo strumento di GeoGebra opportuno.[/justify]
L'isometria che manda direttamente il punto A in A′′, B in B′′, C in C′′ e D in D′′ è la simmetria centrale che ha come centro l'origine degli assi cartesiani.[br]Lo strumento di GeoGebra opportuno per verificare questa ipotesi è lo strumento [b]Simmetria centrale[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratpoint.png[/icon].