Teorema (Disuguaglianza triangolare 1): [i]In un triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due[/i].[br]Hp 1) [math]ABC[/math] triangolo [br]Th: [math]\overline{AB} < \overline{AC} + \overline{BC}[/math][br][b]Passo 1[/b]: Sia [math]ABC[/math] un triangolo[br][b]Passo 2[/b]: Prolunghiamo [math]\overline{BC}[/math] dalla parte di [math]C[/math] di un segmento [math]\overline{CD} \cong \overline{AC}[/math] (2)[br][b]Passo 3[/b]: Il triangolo [math]ACD[/math] è quindi isoscele e per il teorema diretto del triangolo isoscele [math]C \hat{A} D \cong A \hat{D} B[/math] (3)[br][b]Passo 4[/b]: Dato che [math]D[/math] è esterno ad [math]ABC[/math], il segmento [math]\overline{AD}[/math] è tutto esterno ad [math]ABC[/math], quindi [math]B \hat{A} D > C \hat{A} D[/math] e per (3) [math]B \hat{A} D > A \hat{D} B[/math] (4)[br][b]Passo 5[/b]: Considerando il triangolo [math]ABD[/math], dato che ad angolo maggiore si oppone lato maggiore, per (4) si ha [math]\overline{BD} > \overline{AB}[/math] (5), ma per costruzione [math]\overline{BD} \cong \overline{AB} + \overline{BD}[/math] e per (2) [math]\overline{BD} \cong \overline{BC} + \overline{AC}[/math] e ,per (5) la tesi.