ベキ級数からオイラーの公式まで

Bunryu Kamimura, Oct 3, 2015

ベキ関数の和によっていろいろな関数を作ることができます。 これを自在に作るためにはどうしたら良いのでしょうか？ 今度は、ある関数は無限のベキ関数の級数に表すことができるとしましょう。 そうすると、微分をすることで、それぞれの係数を求めることができます。 これをべき関数への級数展開といます。 そして、ここから[math]e^{ix}=cos(x)+isin(x)[/math]という不思議なオイラーの公式を導くことができます。

Table of Contents

  1. ベキ級数
    1. べき乗関数
    2. パスカルの四角形から冪級数へ
    3. 1/(1-x)を展開する
    4. 二項定理
    5. １／（１＋ｘ）の展開
  2. マクローリン展開
    1. マクローリン展開
    2. cosxの展開
    3. e^xの展開
    4. 1/(1-x)と-log(1-x)の無限級数表現
  3. テーラー展開
    1. テーラー展開とは？
    2. テーラー展開は強力
    3. テーラー多項式
    4. テーラー展開
    5. １／ｘのテーラー展開
  4. オイラーの公式
    1. 三角関数のマクローリン展開
    2. e^xのマクローリン展開
    3. e^(iθ)=cosθ+isinθ

1.

ベキ級数

[math]a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3・・・[/math]をベキ級数といいます。 まずは、１÷（１－ｘ）を計算してみましょう。 答えは[math]1+x+x^2+x^3+x^4+・・・[/math] この割り算は無限に続きます。 この式の意味を考えてみましょう。

  • 1. べき乗関数
  • 2. パスカルの四角形から冪級数へ
  • 3. 1/(1-x)を展開する
  • 4. 二項定理
  • 5. １／（１＋ｘ）の展開

1.1.

べき乗関数

a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3・・・という関数をべき乗関数という。どんなグラフになるのだろうか？
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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2.

マクローリン展開

もし、無限に微分できる関数がベキ級数に展開できるならば、ベキ級数のそれぞれの係数を求めることができます。

  • 1. マクローリン展開
  • 2. cosxの展開
  • 3. e^xの展開
  • 4. 1/(1-x)と-log(1-x)の無限級数表現

2.1.

マクローリン展開

マクロ―リン展開の説明
微分を使うと関数を無限ベキ級数で表すことができます。[br]それぞれの係数を求めるために微分を利用します。（無限に微分できる関数）[br]例として、ｓｉｎ（ｘ）をベキ級数で表します。[br]▷をクリックしてプレゼンテーションを見てから、右のｉを動かしてサインカーブになるか試してみましょう。[br]ｓｉｎが無限ベキ関数として表現できるのだったら、他の関数をｓｉｎやｃｏｓで表すことができるのではないかというフーリエの発想に繋がっていきます。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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3.

テーラー展開

テーラー展開はマクローリン展開を、０の周りだけでなく任意の場所で展開できるようにしたものです。 【パスカルの三角形からテーラー展開へ】 [url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/pasucalterar.html[/url]

  • 1. テーラー展開とは？
  • 2. テーラー展開は強力
  • 3. テーラー多項式
  • 4. テーラー展開
  • 5. １／ｘのテーラー展開

3.1.

テーラー展開とは？

マクローリン展開は０を中心にして展開しました。これをａを中心に展開したものがテーラー展開です。ａを動かしてみましょう。[br][math]f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2!(x-a)^2+f'''(a)/3!(x-a)^3+[/math]・・・
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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4.

オイラーの公式

虚数iとeの不思議な関係 [math]e^ix=cos(x)+i*sin(x)[/math]を導いてみよう。

  • 1. 三角関数のマクローリン展開
  • 2. e^xのマクローリン展開
  • 3. e^(iθ)=cosθ+isinθ

4.1.

三角関数のマクローリン展開

マクローリン展開はとても強力です。[br]例えば、三角関数がベキ級数で表されてしまうのです。[br]
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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