Trigonometria
Table of Contents
- Aspectos históricos
- Aspectos Históricos
- Trigonometria no triângulo retângulo
- Razões trigonométricas no triângulo retângulo
- Ângulos notáveis
- Relações entre as razões trigonométricas
- Arcos e ângulos
- Introdução
- Medida e comprimendo de arco
- Unidades de medida de arcos e ângulos
- Comprimento de um arco
- Circunferência trigonométrica
- Apresentação da circunferência trigonométrica
- Números reais associados a pontos da circunfêrência
- Simetrias
- Medindo distâncias inacessíveis
- Razões trigonométricas na circunferência
- Razões trigonométricas na circunferência
- Semelhança de triângulos - Revisão
- Semelhança de triângulos: Definição, critérios e demonstrações
Aspectos Históricos
Aspectos Históricos
[justify][b] [/b][/justify][justify] A palavra "Trigonometria" tem origem grega: trigonon (triângulo) + metron (medida). Etimologicamente, portanto, trigonometria significa medida de triângulos. Esse significado nos remete a um estudo puro e simples das medidas dos lados, ângulos e outro elementos dos triângulos. No entanto, ao longo dos anos, o campo da Trigonometria evoluiu e extrapolou, em muito, o seu significado inicial. Atualmente, a Trigonometria se faz presente nas ciências e na alta tecnologia.[br] A origem da Trigonometria é anterior à era cristã. O início de seu desenvolvimento está relacionado à resolução de problemas no campo da astronomia, agrimensura e navegações, por egípcios e babilônios, por volta do século IV ou V a.C.[br] Hiparco de Nicéia é considerado o "pai da Trigonometria" pois, na segunda metade do século II a.C., elaborou o que se considera ser a primeira tabela trigonométrica. [br] Mas, foi Ptolomeu quem influenciou o desenvolvimento da Trigonometria durante muitos séculos. A sua obra Almagesto contém uma tabela de cordas correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos. No Almagesto, Ptolomeu compilou os conhecimentos existentes na época sobre Astronomia e Trigonometria.[br] Astronomia com a Trigonometria fez com que esta se desenvolvesse aplicada a triângulos de lados curvilíneos, que se formam sobre a superfície esférica. Assim, a Trigonometria Esférica desenvolveu-se anteriormente à Trigonometria Palana. [br] A contribuição dos hindus e dos árabes foi bastante significativa para o desenvolvimento da Trigonometria. O primeiro aparecimento real do seno de um ângulo se deu no trabalho dos hindus. Arybhata , por volta do ano 500, elaborou tabelas envolvendo metade de cordas que, atualmente, são conhecidas como tabelas de senos. Arybhata usava a palavra jiva no lugar de seno.[br] Durante algum tempo os matemáticos árabes oscilaram entre o Almajesto e a Trigonometria de Jiva, de origem hindu. O conflito chegou ao fim quando Al-Battani adotou a Trigonometria hindu, introduzindo uma preciosa inovação, a circunferência de raio unitário. Os árabes levaram os conhecimentos de Trigonometria para a Europa, através de Espanha.[br][br][/justify]
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
No [i]applet[/i] abaixo:[br]- Mova o controle deslizante k e observe, na janela de visualização, o triângulo e as razões;[br]- Altere a medida do ângulo [math]\alpha[/math], movendo o controle deslizante correspondente, e observe o triângulo e as razões.
Marque as três caixas e visualize o nome dessas razões.
Introdução
Seja um circunferência de centro O, sobre a qual tomamos dois pontos distintos, A e B. A circunferência fica dividida em duas partes, cada uma das quais é um[b] arco de[/b] [b]circunferência[/b].[br][justify] Observe na construção abaixo, que existem dois arcos determinados por A e B.[br][br] Movimente o ponto A de forma que ele continue entre X e Y.[br] Movimente o ponto B de forma que ele continue entre X e Y.[/justify][justify][/justify]
Quando não houver dúvidas em relação ao arco ao qual nos referimos, podemos escrever simplesmente AB para representar o arco com extremidades A e B.
[justify] Vejamos agora dois casos particulares:[br]1) Se a A e B são simétricos em relação ao centro O, o segmento AB é um diâmetro e cada um dos arcos determina uma semicircunferência e é chamado [b]arco de meia-volta[/b].[br] Movimente o ponto B.[/justify]
2) No caso de A coincidir com B, dois arcos são determinados. Um deles é o [b]arco de uma volta[/b] e o outro, o [b]arco nulo[/b].[br] Movimente o ponto A.
Observe que todo arco AB corresponde um ângulo central, isto é, um ângulo cujo vértice é o centro da circunferência.[br][justify] Movimente o ponto A ou o ponto B.[/justify]
Apresentação da circunferência trigonométrica
Clique nas caixas na ordem indicada.
Razões trigonométricas na circunferência
Seno
Seja P um ponto da circunferência trigonométrica, imagem de um número real [math]\alpha[/math], [math]0\le\alpha\le2\pi[/math].[br][br] Mova o controle deslizante [math]\alpha[/math] e observe os valores na tela.
Definimos o seno de [math]\alpha[/math] como a ordenada do ponto P. [br][br] Observe que, projetando ortogonalmente o ponto P sobre o eixo vertical, obtemos o ponto P'.[br][justify] Considerando o sentido positivo ("para cima") do eixo vertical e tomando o segmento OP', podemos também definir o seno de[math]\alpha[/math] como a [b]medida algébrica [/b]desse segmento.[br] Daqui em diante, o eixo vertical da circunferência trigonométrica será chamado [b]eixo dos senos[/b].[br][br] Varie a posição do ponto P, movendo o controle deslizante [math]\alpha[/math] e observe o sinal do seno de um número real em cada quadrante.[/justify]
Cosseno
Seja P um ponto sobre a circunferência trigonométrica, imagem do número real [math]\alpha[/math], [math]0\le\alpha\le2\pi[/math].[br] [br] Mova o controle deslizante [math]\alpha[/math] e observe os valores na tela.[br]
Definimos o cosseno de [math]\alpha[/math] como a ordenada do ponto P. [br][br] Observe que, projetando ortogonalmente o ponto P sobre o eixo horizontal, obtemos o ponto P'.[br] Considerando o sentido positivo ("para a direita") do eixo horizontal e tomando o segmento OP', podemos também definir o cosseno de [math]\alpha[/math] como a [b]medida algébrica [/b]desse segmento.[br] Daqui em diante, o eixo vertical da circunferência trigonométrica será chamado [b]eixo dos senos[/b].[br][br] Varie a posição do ponto P, movendo o controle deslizante e observe o sinal do cosseno de um número real em cada quadrante.
Semelhança de triângulos: Definição, critérios e demonstrações
Definição
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos [b]ordenadamente congruentes [/b]e os lados [b]homólogos [/b]proporcionais.
Reflexão 1
Altere as posições dos ponto A, B, C, A', B' ou C'. O que você em relação ao valor de k?
Reflexão 2
Altere as posições dos ponto A, B, C, A', B' ou C' de forma que k fique igual a 1. O que você pode dizer a respeito dos triângulos?
2º CASO DE SEMELHANÇA-LADO-ÂNGULO-LADO
Exercício
Pesquise alguma justificativa para o teorema que foi usado na demonstração anterior: "Se uma reta intercepta dois lados de um triângulo e determina segmentos proporcionais a esses dois lados, então ela é paralela ao terceiro lado". Use a figura seguinte como referência.[br][img]https://cdn.geogebra.org/material/qmJyXBAamZbl9s7GoEh5QSsjwL5q4S7V/material-Pxxtb5RS.png[/img]