Vergleichen wir die Funktionen [math]y=\frac{1}{x^2}[/math] und [math]y=\frac{1}{x}[/math]. Unten finden Sie dazu Wertetabellen, in deren linke Hälften noch die richtigen y-Werte eingetragen werden müssen. Erschließen Sie diese y-Werte aus den y-Werten der jeweiligen rechten Seite, [b]ohne zu rechnen[/b].[br][br]Immer wenn Sie einen richtigen Wert eintragen, erscheint der entsprechende Punkt im Koordinatensystem, und nach und nach ergeben sich die beiden Funktionsgraphen.

Wir sehen: An den Stelle x = 0 haben beide Funktionen eine Definitionslücke und jeweils eine Polstelle. Diese sehen aber verschieden aus:[br][br] [math]y=\frac{1}{x}[/math] hat eine [color=#ff0000]Polstelle erster Ordnung (ersten Grades)[/color]. Hier wechselt der Graph beim Übergang von links nach rechts das Vorzeichen. Man spricht von [color=#ff0000]Polstelle mit Vorzeichenwechsel [/color](VZW).[br][br][math]y=\frac{1}{x^2}[/math] hat eine [color=#ff0000]Polstelle zweiter Ordnung (zweiten Grades)[/color]. Hier wechselt der Graph beim Übergang von links nach rechts das Vorzeichen nicht. Man spricht von [color=#ff0000]Polstelle ohne Vorzeichenwechsel [/color](VZW).[br]

Es gibt auch dreifache oder vierfache Pole usw. Dabei gilt, dass [color=#ff0000]ungerade Pole[/color] wie einfache Pole aussehen und [color=#ff0000]gerade Pole[/color] wie zweifache Pole aussehen. [br][br]Als Ergebnis halten wir fest:

Wir wissen bereits: Polstellen liegen bei den x-Werten vor, bei denen der Nenner null, d.h. bei denen durch Null geteilt wird.[br][br][u]Beispiele:[/u] [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x-3}[/math] hat einen einfachen Pol mit VZW an der Stelle x = 3.[br][br] [math]g\left(x\right)=\frac{1}{\left(x+4\right)^2}[/math] hat einen zweifachen Pol ohne VZW an der Stelle x = -4.[br][br] [math]h\left(x\right)=\frac{1}{\left(x-6\right)^7}[/math] hat eine siebenfache Pol mit VZW an der Stelle x = 6.[br][br]Natürlich kann eine gebrochen-rationale Funktion auch verschiedene Polstellen gleichzeitig aufweisen.[br][br][u]Beispiel:[/u] [math]f\left(x\right)=\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)^2}[/math] hat einen einfachen Pol mit VZW an der Stelle x = -1 und einen zweifachen Pol ohne VZW an der Stelle x = 2. Der Graph hat also zwei senkrechte Asymptoten (und für [math]x\rightarrow\pm\infty[/math] eine waagerechte Asymptote). Dies zeigt sich am Graphen:

Eine gebrochen-rationale [color=#ff0000]Funktion hat einen ein-, zwei-, dreifachen usw. Pol[/color] an der Stelle, an der ihr [color=#ff0000]Nenner eine ein-, zwei-, dreifache usw. Nullstelle[/color] hat. Machen Sie sich dies auch am letzten Beispiel klar.[br][br]Sie können nun anhand des folgenden Arbeitsblattes prüfen, ob Sie dieses Kapitel verstanden haben.