behangpapiergroepen

chris cambré, Nov 8, 2017

Wat zijn behangpapiergroepen? Hoe kan je ze identificeren en hoe stel je ze schematisch voor? [url=https://ggbm.at/PXdeXSRy]Steve Phelps[/url] bedacht het originele idee om de verschillende symmetriegroepen voor te stellen door in het basimotief de naam van de groep te verwerken. We overlegden met elkaar over sommige groepen en over hoe de namen te verwerken in niet-rechthoekige basismotieven. Ik verwerkte het idee in een Nederlandstalige versie. Zie ook de GeoGebraboeken [url=https://ggbm.at/cwdEuhUw]Symmetrie in het Alhambra[/url] en [url=https://ggbm.at/M4BJvN9m]Escher en het Alhambra[/url] The initiative of a GGbook on symmetry groups, using the name of the group as basic motif was initiated by [url=https://ggbm.at/PXdeXSRy]Steve Phelps[/url]. I contacted him and we changed ideas on some matters like how to type the names in not rectangular motives. After that I worked out my own dutch version, but without Steve I'd never done it this way.

Table of Contents

  1. 17 groepen
    1. 17 symmetriegroepen
  2. Geen rotatie
    1. groepen zonder rotatie
    2. groep cm (h)
    3. groep cm (v)
    4. groep pm (h)
    5. groep pm (v)
    6. groep pg (h)
    7. groep pg (v)
    8. groep p1
  3. Rotatie over 180°
    1. groepen met rotatie over 180°
    2. groep pmm
    3. groep cmm
    4. groep pmg (h)
    5. groep pmg (v)
    6. groep pgg
    7. groep p2
  4. Rotatie over 120°
    1. groepen met rotatie over 120°
    2. groep p3m1
    3. groep p31m
    4. groep p3
  5. Rotatie over 90°
    1. groepen met rotatie over 90°
    2. groep p4m
    3. groep p4g
    4. groep p4
  6. Rotatie over 60°
    1. groepen met rotatie over 60°
    2. groep p6m
    3. groep p6

1.

17 groepen

Elke vlakvulling lijkt net weer iets anders dan de vorige. Hoe worden ze opgebouwd, hoe kan je ze vergelijken? In de 19e eeuw bewezen wiskundigen dat je alle decoratieve patronen kunt onderbrengen in 17 groepen.

  • 1. 17 symmetriegroepen

1.1.

17 symmetriegroepen

Behangpapierpatronen
De symmetrische, vlakvullende patronen noemen we behangpapierpatronen. [br]De patronen vertrekken telkens vanuit een basismotief waarop een of meerdere transformaties worden toegepast. Deze transformaties zijn: verschuiving, spiegeling, glijspiegeling en draaiing. 
Behangpatroongroepen
Wiskundige bogen zich over verschillen en gelijkenissen tussen deze patronen en deelden ze in 17 groepen in.[br]Elke groep wordt bepaald door een combinatie van de toegepaste transformaties. In de volgende hoofdstukken bekijken we de verschillende groepen. Om de aard van de transformaties schematisch voor te stellen, gebruiken we volgende legende:
Zo wordt in onderstaand voorbeeld het basismotief omschreven door de gele rechthoekige driehoek links onderaan. [br]De driehoek wordt horizontaal en een verticaal gespiegeld tot een basisruit (of een vierkant wanneer de driehoek gelijkbenig is). Deze basisruit wordt telkens herhaald in een wandbedekkend patroon.
overzichtstabel
We kunnen de 17 groepen indelen in subgroepen op basis van hun rotatiesymmetrie:
Je kunt de 17 behangpatroongroepen identificeren aan de hand van deze tabel.
– chris cambré

2.

Geen rotatie

  • 1. groepen zonder rotatie
  • 2. groep cm (h)
  • 3. groep cm (v)
  • 4. groep pm (h)
  • 5. groep pm (v)
  • 6. groep pg (h)
  • 7. groep pg (v)
  • 8. groep p1

2.1.

groepen zonder rotatie

In deze groep kunnen we 4 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
– chris cambré

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

3.

Rotatie over 180°

  • 1. groepen met rotatie over 180°
  • 2. groep pmm
  • 3. groep cmm
  • 4. groep pmg (h)
  • 5. groep pmg (v)
  • 6. groep pgg
  • 7. groep p2

3.1.

groepen met rotatie over 180°

In deze groep kunnen we 5 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
– chris cambré

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

4.

Rotatie over 120°

  • 1. groepen met rotatie over 120°
  • 2. groep p3m1
  • 3. groep p31m
  • 4. groep p3

4.1.

groepen met rotatie over 120°

In deze groep kunnen we 3 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
– chris cambré

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

Rotatie over 90°

  • 1. groepen met rotatie over 90°
  • 2. groep p4m
  • 3. groep p4g
  • 4. groep p4

5.1.

groepen met rotatie over 90°

In deze groep kunnen we 3 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
– chris cambré

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

6.

Rotatie over 60°

  • 1. groepen met rotatie over 60°
  • 2. groep p6m
  • 3. groep p6

6.1.

groepen met rotatie over 60°

In deze groep kunnen we 2 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
– chris cambré

6.2.

–

6.3.

–

Information