Il problema che per primo portò all'istituzione del calcolo degli integrali definiti fu quello di determinare l'area delle superfici piane delimitate da contorni curvilinei. In questo capitolo viene proposto un approccio geometrico al concetto di integrale attraverso una applet scritta con Geogebra.[br]Si parte da una funzione continua in un intervallo [a,b]. La parte di piano delimitata dalla funzione f(x) e dal segmento ab si chiama trapezoide. [br] L´idea di base per calcolare l'area del trapezoide e quella di approssimarla con dei rettangoli inscritti e dei rettangoli circoscritti. Quindi si divide la base ab in n intervalli e si considerano tanti rettangoli, aventi come base questi intervalli e come altezza il minimo della funzione negli stessi, se vogliamo costruire i rettangoli inscritti, altrimenti si prende il massimo della funzione in ciascun intervallo per costruire i rettangoli circoscritti. [br]Indichiamo con [math]s_n=\sum areaRettangoliInscritti[/math] l’area del plurirettangolo inscritto e la chiamiamo somma integrale inferiore, mentre [math]S_n=\sum areaRettangoliCircoscritti[/math] sará l'area del plurirettangolo circoscritto che prederá il nome di somma integrale superiore.[br]Con queste premesse puoi provare ad esplorare il foglio di lavoro Geogebra che segue[br]

Prova a lavorare con il file Geogebra.[br]- Inizia inserendo una funzione, di default nella finestra di inserimento é giá scritta la funzione [math]f\left(x\right)=sinx+x[/math][br]- Puoi decidere l'ampiezza dell'intervallo [a,b] variando i rispettivi valori con gli slider.[br]- Puoi variare il numero n di intervalli agendo sullo slider corrispondente, ti consiglio di partire da un un numero basso di intervalli.[br]- Spuntando le finestrelle somme integrali superiori e inferiori, compariranno i plurirettangoli corrispondenti e le relative formule.[br]Prova a variare n, al crescere di n i valori delle aree dei due plurirettangoli si avvicinano sempre di piú, vedrai che quando n é MOLTO grande esse praticamente coincidono.[br]Ecco! hai scoperto l'integrale definito che si scrive nel modo strano che vedi.