Legyen adott egy egyenesen két pont, A és B. Szerkesszünk olyan egymást érintő köröket, amelyek egyike az adott egyenest A-ban, másikat B-ben érinti. Mi a két kör közös pontjának a mértani helye? [br][br]Ezt a feladatot [url=https://vimeo.com/192496633]Tarcsay Tamás[/url] tanár úr tűzte ki.

Az [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/t7ffE7rR]itt említett[/url] abszolút geometriai összefüggéseket felidézve keressük meg a két kör közös érintési pontjának a mértani helyét. Ez az AB átmérőjű [i]s[/i] kör lesz. Mivel abszolút geometriai összefüggésekre hivatkoztunk, most tekintsünk el az euklideszi geometriai eset megrajzolásától, Egyből a P modellen, mutatjuk meg a feladat megoldását.[br][br]A különbség mindössze annyi, hogy míg az euklídeszi geometriában az s kör minden A-tól és B-től különböző pontjához tartozik megoldás, ez a P modellen nincs így. Ugyanis [br][list][*][b][color=#ff0000]a hiperbolikus geometriában egy adott kört érintő [i]e [/i]egyeneshez a körnek két, [i]e[/i]-vel egyirányú, és végtelen sok e-vel ultrapárhuzamos érintője tartozik.[/color][/b][/*][/list][color=#333333]Ezt figyelembe véve az s körnek lesznek olyan körívei, amelyekre illeszkedő érintési ponthoz tartozik, ill. nem tartozik megoldás. Sőt, az is előfordulhat, hogy a feladat nem oldható meg.[br] Az alábbi applet alaposabb elemzését olvasóinkra bízzuk.[/color]

Ugyanez a feladat a gómbfelületen is megoldható, ahol -természetesen - az egyenes szerepét a gömbi főkör veszi át.