Der [b]Fermatsche Punkt[/b] ist jener Punkt, für den die Summe der Abstände zu den Eckpunkten des Dreiecks minimal wird.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Versuche durch Bewegen des [b][color=#0000FF]Punktes P[/color][/b] jenen Punkt zu finden, an dem die Summe der Abstände zu den Eckpunkten möglichst klein ist!

Über jeder Dreiecksseite a, b und c wird ein gleichseitiges Dreieck errichtet.[br]Verbindet man die neuen Dreieckspunkte A[sub]1[/sub], B[sub]1[/sub] und C[sub]1[/sub] mit den gegenüberliegenden Punkten, so ensteht im Schnittpunkt dieser Verbindungsstrecken der Fermat-Punkt F.

[b]Aufgabe[/b][br]Stelle im unten gezeigten Applet den Winkel α auf 60°. [br]Dadurch werden die Punkte P und C in P' und C' gedreht; es entstehen zwei gleichseitige Dreiecke ACC' und APP'.[br][br]Die drei Abstände von P zu den Eckpunkten A, B und C sind [math]\overline{PA}[/math], [math]\overline{PB}[/math] und [math]\overline{PC}[/math] sollen in Summe möglichst klein sein.[br]Wegen [math]\overline{PA} = \overline{PP'}[/math] und [math]\overline{PC} = \overline{P'C'}[/math] entspricht [math]\overline{PA} + \overline{PB} + \overline{PC}[/math] der Länge des Streckenzugs [math]BPP'C'[/math].[br][br]Da die kürzeste Verbindung von B zu C' eine Gerade ist, muss der Fermatsche Punkt F auf dieser Geraden liegen. [br]Eine analoge Überlegung für die beiden anderen gleichseitigen Dreiecken zeigt, dass der Fermat-Punkt im Schnittpunkt dieser Verbindungsstrecken liegen muss.[br][br]