Vogliamo studiare ora l'andamento delle[b] funzioni goniometriche[/b], cioè di quelle relazioni che dato l'angolo restituiscono il valore della corrispondente grandezza goniometrica. [br][br]Nella prossima animazione ci occupiamo della funzione che dato un angolo restituisce il seno di quell'angolo (vedremo che la funzione coseno è molto simile). Metteremo quindi l'angolo sulle [math]\large{x}[/math], e sulle [math]\large{y}[/math] otterremo il corrispondente valore del seno di quell'angolo; costruiremo quindi il grafico della funzione [math]\large{y=sin\left(x\right)}[/math].[br]

[size=100][size=150][color=#ff0000]PERIODO E FREQUENZA[br][/color][/size][/size]Ricostruendo la funzione seno abbiamo scoperto il concetto di periodicità e di periodo: [b][color=#ff0000]la funzione seno è periodica[/color][/b], [color=#ff0000]perché dopo un certo intervallo dell'input [/color][math]\large{x}[/math][color=#ff0000] - nel caso del seno [/color][math]\large{\textcolor{blue}{360°} \text{ oppure } \textcolor{blue}{2\pi}}[/math][color=#ff0000], i risultati si ripetono in modo identico[/color]. [br][br][b]La proprietà di essere periodica rende la funzione del seno (ed anche quella del coseno, che ha un comportamento identico) molto utile al di là dello studio degli angoli: essa infatti può essere utilizzata per descrivere QUALSIASI fenomeno periodico, ovvero che si ripete dopo un certo intervallo, come ad esempio le onde sonore o elettromagnetiche. [br][/b][br]Per questa ragione definiamo meglio ed approfondiamo le caratteristiche legate alla periodicità delle funzioni goniometriche. [br][br]Innanzitutto formalizziamo il concetto di periodicità con la seguente scrittura, che afferma che il seno di un angolo [math]\large{\alpha}[/math] è uguale a quello di qualsiasi altro angolo che che si ottiene sommando o sottraendo ad [math]\large{\alpha}[/math] un qualsiasi numero intero di angoli giri:[br][br][math]\large{\sin(\alpha) = \sin(\alpha + \textcolor{blue}{2\pi}) = \sin(\alpha + 2\cdot \textcolor{blue}{2\pi}) = \sin(\alpha + 3 \cdot \textcolor{blue}{2\pi})= \cdots = \sin(\alpha + \textcolor{red}{k}\cdot \textcolor{blue}{2\pi})\quad \forall \textcolor{red}{k} \in \mathbb{Z}}[/math][br][br]Ad esempio se consideriamo [math]\large{\textcolor{red}{k=2}}[/math] (e [math]\large{\alpha = 30°}[/math] a titolo di esempio) abbiamo:[br][br][math]\large{\sin(750°) = \sin(30°+ 2\cdot \textcolor{blue}{360°}) = \sin(30°)= \frac{1}{2}}[/math][br][br][math]\large{\textcolor{blue}{360°} \text{ oppure } \textcolor{blue}{2\pi}}[/math] è il [b][color=#ff0000]periodo[/color][/b] del seno; il periodo di una funzione periodica è l'intervallo dopo il quale i suoi risultati si ripetono; viene indicato con il simbolo [b]T[/b]. Se vogliamo dire che una generica funzione [math]\large{y=f(x)}[/math] è periodica con periodo [b]T[/b], generalizzeremo la scrittura vista sopra per il seno e diremo che [br][br][math]\large{f(x) = f(x+\textcolor{red}{k}\cdot \textcolor{blue}{T})\quad \forall \textcolor{red}{k} \in \mathbb{Z}}[/math][br][br]Definiamo infine la [b][color=#ff0000]frequenza[/color][/b], indicata dal simbolo [color=#ff0000][b]f[/b],[/color]come il numero di volte in cui la funzione si ripete in un'intervallo unitario, cioè pari ad 1.[br][br]Per chiarire il concetto facciamo alcuni esempi concreti. [br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO 1:[/b][/color] Il colibrì gigante sbatte le ali con periodo pari a [math]\frac{1}{15}[/math] di secondo: significa che per battere le ali impiega questo intervallo di tempo, e poi ricomincia con un nuovo battito. Puoi verificare facilmente che il suo battito ha una [i]frequenza[/i] di 15 battiti/secondo, dato che in un secondo riesce a battere le ali 15 volte.[br] [br][b][color=#0000ff]ESEMPIO 2:[/color] [/b]Se per digitare una lettera sulla tastiera impiego due secondi, il mio periodo è appunto T=2s (dopo due secondi sono pronto a ricominciare con una nuova lettera) mentre la mia frequenza è f=0.5 lettera/s (in un secondo batto "mezza" lettera).[br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO 3:[/color] [/b]Se una persona ha frequenza cardiaca di 60 battiti al minuto, significa che in un minuto il suo cuore batte 60 volte. Di conseguenza un battito dura [math]\frac{1}{60}[/math] di minuto, cioè un secondo, che è il suo periodo (dopo un secondo ricomincia un nuovo battito).[br][br][b]Da tutti questi esempi si deduce che periodo e frequenza sono uno il reciproco dell'altra, cioè[br][math]\large{f=\frac{1}{T}}[/math].[/b][br][br][b]Molti esempi di fenomeni periodici sono eventi periodici [u]nel tempo;[/u] in questo caso il periodo è espresso in secondi e l'unità di misura della frequenza è quindi [/b][math]\large{\frac{1}{s}}[/math][b] o meglio [/b][math]\large{s^{-1}}[/math][b], ed assume il nome di Hertz (simbolo Hz)[/b]*.[br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO 4:[/b][/color] la funzione seno ha periodo [math]\large{2\pi}[/math], cioè circa [math]\large{6.28}[/math] che per semplicità possiamo arrotondare a [math]\large{6}[/math], perchè per completare un ciclo impiega appunto circa [math]\large{2\pi \approx 6.28\approx 6}[/math] unità sull'asse delle [math]\large{x}[/math]. La sua frequenza è quindi circa [math]\large{f\approx \frac{1}{6}}[/math]: se impiega circa [math]\large{6}[/math] unità per completare un ciclo, in una unità compie un sesto di ciclo. Più precisamente la sua frequenza è [math]\large{f\approx \frac{1}{6,28}}[/math] o per essere esatti [math]\large{f= \frac{1}{2\pi}}[/math]][br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO 5:[/color] [/b]un processore con frequenza 1GHz, ovvero 1 GigaHertz (circa 1 miliardo di Hertz) può fare 1 miliardo di operazioni elementari in un secondo, quindi ogni operazione dura un miliardesimo di secondo (periodo).[br][br]* anche se dico "battiti al secondo", i battiti sono un numero puro: è un puro conteggio, quindi non ha unità di misura che contribuisca a definire l'unità di misura della frequenza (a differenza della velocità lineare, che si misura in metri al secondo - [math]\frac{m}{s}[/math].[br][br]

[color=#ff0000][size=150]COSTRUIRE LA FUNZIONE SU MISURA: CAMBIARE l'AMPIEZZA[br][/size][/color]Vediamo ora come costruire una funzione che risponda alle nostre esigenze. [br][br]Nell'animazione qui sotto iniziamo a modificare la funzione in modo che le sue oscillazioni abbiano un'AMPIEZZA non di 1, ma con un valore a nostra scelta.

[size=150][color=#ff0000]MODIFICARE IL PERIODO (E LA FREQUENZA)[br][/color][/size]La funzione seno ha un periodo [math]2\pi[/math], perché ogni volta che l'angolo aumenta di questa valore abbiamo "fatto un giro" sul cerchio goniometrico e quindi ricominciamo ad ottenere gli stessi valori. [br][br]Vediamo ora come ottenere una funzione con un periodo qualsiasi T. Il periodo di una funzione si indica con la lettera T perché una funzione periodica può essere utilizzata per descrivere [i]qualsiasi[/i] fenomeno che si ripete, e molti fenomeni di questo tipo si ripetono [i]nel tempo[/i] (di conseguenza il periodo indica quanto tempo deve passare perché il fenomeno si ripeta identico, e quindi si misura in secondi).

Abbiamo quindi ottenuto che per avere una funzione sinusoidale con periodo [color=#ff0000]T[/color] basta considerare l'espressione[br][br][math]\Large{y=\sin \left ( 2\pi \frac{x}{\textcolor{red}{T}} \right )}[/math][br][br]Spesso la si scrive nel formato [math]\large{y=\sin \left ( \frac{2\pi}{\textcolor{red}{T}} x\right )}[/math] per riunire tutti i numeri costanti - il nostro esempio diventa [math]\large{y=\sin \left ( \frac{2\pi}{5} x\right )}[/math] - si tratta chiaramente della stessa cosa. [br][br]La "nostra" scrittura è anzi più chiara: la frazione [math]\large{\frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{T}}}[/math], che nel nostro esempio diventa [math]\large{\frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{5}}}[/math], "conta" quanti periodi da [math]\large{\textcolor{red}{5}}[/math] sono contenuti in [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] - ad esempio dopo [math]\large{\textcolor{blue}{x=15}}[/math] secondi sono passati [math]\large{\frac{\textcolor{blue}{15}}{\textcolor{red}{5}}=3}[/math] periodi; questo numero viene poi moltiplicato per [math]\large{2\pi}[/math], così che nel complesso la funzione seno "vede" un angolo pari a [math]\large{2\pi \cdot 3 = 6\pi}[/math], cioè [math]\large{3}[/math] angoli giri. [br][br]Allo stesso modo dopo [math]\large{\textcolor{blue}{x=2,5}}[/math] secondi sono passati [math]\large{\frac{\textcolor{blue}{2,5}}{\textcolor{red}{5}}=\frac{1}{2}}[/math] periodo; quindi l'argomento del seno risulta essere [math]\large{2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi}[/math], cioè effettivamente la metà di un angolo giro.[br][br]Nella animazione qui sopra per semplicità abbiamo parlato solo di periodo, ma ovviamente si può ripetere lo stesso discorso riferendosi alla [i]frequenza[/i]. La nuova funzione che abbiamo costruito, avendo [math]T=5s[/math], ha frequenza [math]f=\frac{1}{5}s^{-1}=\frac{1}{5}Hz[/math]: cioè se impiega 5 secondi a finire un ciclo, significa che in un secondo compie [math]\frac{1}{5}[/math] di ciclo.[br][br][b]Allo stesso modo si può modificare la formula generale[/b]: se una funzione con periodo [math]\textcolor{red}{T}[/math] ha espressione [br][br][math]y=sin \left ( \frac{2\pi}{\textcolor{red}{T}}x \right)[/math] , dato che [math]\textcolor{blue}{f}=\frac{1}{\textcolor{red}{T}}[/math] ovvero [math]\textcolor{red}{T}=\frac{1}{\textcolor{blue}{f}}[/math] abbiamo che possiamo esprimere la stessa funzione come [br][br][math]\Large{y=sin \left ( \frac{2\pi}{\frac{1}{\textcolor{blue}{f}}}x \right)}[/math] [br][br]cioè [br][br][math]\Large{y=sin (2\pi\textcolor{blue}{f}x)}[/math]