Gae Spes, 11/3/2016

Descrizione Introduzione assiomatica del piano cartesiano (ossia come struttura basata su concetti primitivi e assiomi motivati da un modello grafico), con esplorazione delle trasformazioni più elementari, non subordinata a concetti goniometrici, bensì adatta a costituirne il fondamento; e non subordinata ad una trattazione sintetico-euclidea dei concetti geometrici coinvolti. Obiettivi - Collegare l’operazione di addizione nel piano cartesiano alle traslazioni in un piano riferito a un punto origine, e l’operazione di moltiplicazione con coefficienti reali alle omotetie in un piano riferito a un'origine e a una unità; - introdurre le isometrie coordinate in un piano riferito a un'origine, a una unità reale e a una immaginaria, individuando gli operatori di coniugazione e di ortonormalità come loro generatori - interpretare proporzioni fra punti tramite sistemi di riferimento, e l’operazione di moltiplicazione tramite roto-omotetie, isolando fra queste le rotazioni come base del concetto di modulo (distanza dall'origine) e come elementi costitutivi delle isometrie. [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/[/url] [url]http://w3.romascuola.net/gspes/plusper.html[/url] [url]http://tinyurl.com/geopianoc[/url] [url]http://tinyurl.com/strupianC[/url] [url]http://tinyurl.com/primitivic[/url] [url]http://tinyurl.com/primitC[/url] [url]http://tinyurl.com/teoriaxC[/url] [url]http://tinyurl.com/ggbdaurl[/url] [url]http://www.facebook.com/informatematica[/url] [url]http://www.matematicamente.it/manuali-scolastici/dal-problema-al-modello-matematico-volume-1[/url] [url]http://www.facebook.com/photo.php?fbid=1290406017679142[/url] L'indirizzo abbreviato del presente libro è: [url]http://tinyurl.com/struplan[/url] oppure [url]http://tinyurl.com/axiomaticc[/url] oppure [url]http://tinyurl.com/gaespesc[/url]

Come ogni struttura matematica, il piano C è costituito da elementi primitivi, che non vengono definiti esplicitamente (non tutto può esser definito in una teoria, in quanto definire significa esprimere qualcosa in termini di qualcos'altro, e una base di partenza deve pur essere fornita), bensì vengono implicitamente definiti da proprietà che essi verificano (queste proprietà di base sono chiamate assiomi o postulati e non vengono dimostrate, in quanto dimostrare significa giustificare qualcosa in base a qualcos'altro, e una base di partenza deve essere data). Allo stesso modo che in tutte le altre teorie matematiche, anche nella teoria del piano cartesiano bisogna ben distinguere l'aspetto sintattico (o formale), per il quale gli elementi primitivi della teoria sono puri simboli e gli assiomi sono formule in cui essi compaiono, da quello semantico (o sostanziale), che fornisce di tali simboli una interpretazione o rappresentazione concreta, mediante oggetti di un modello (che è un modello grafico nel caso del piano C), oggetti per i quali sussistono di fatto le proprietà espresse dagli assiomi. [url]https://it.wikipedia.org/wiki/Concetto_primitivo[/url] [url]http://tinyurl.com/sistipoded[/url]

• 1. Gli oggetti primitivi del piano cartesiano

Opposizione e addizione ◉ Punti e vettori: ogni punto di C può essere considerato anche come una freccia (vettore) che congiunge l'origine 0 al punto stesso. Pertanto si parla indifferentemente, ad esempio, di "punto A" o di "vettore A" ◉ Opposizione: l' opposto -A di un punto A è realizzato graficamente come il punto simmetrico di A rispetto all'origine 0, ossia quel punto collocato sulla semiretta opposta alla semiretta 0_A e che ha da 0 la stessa "distanza" che ha A da 0. ◉ Addizione: la somma di A e B è realizzata graficamente traslando il vettore B in modo che parta dal punto A invece che da 0. Dal momento che (se A e B non sono allineati con l'origine) si crea un parallelogramma, tale regola grafica viene detta "regola del parallelogramma" (si parla anche di "regola della traslazione", o anche di "regola della concatenazione"). Osserviamo esplicitamente che si tratta di una regola "grafica" (che quindi rientra nell'ambito pratico del "disegno"), in quanto riguarda il modello concreto, non la teoria matematica che lo descrive. ▣ Proprietà: quanto detto sopra ha una valenza puramente grafica; quel che invece assume una importanza matematica (e permette di elaborare un calcolo, ossia di elaborare simbolicamente la teoria) sono i seguenti 4 assiomi dell'addizione (assiomi additivi): ◈ commutatività: A + B = B + A ◈ associatività: ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ◈ neutralità di 0: A + 0 = A ◈ simmetria degli opposti: A + ( - A ) = 0 .

• 1. associatività dell'addizione

◉ Sottrazione: l'operazione di sottrazione in C è definita combinando l'operazione di addizione con l'operatore di opposizione; precisamente definiamo: A - B := A + ( - B ) (il simbolo := indica che ciò che è dalla parte dei due punti ":" è definito come ciò che sta dall'altra parte). A-B è detto [i]differenza[/i] fra A e B ( a volte: [i]differenza di[/i] A e B). ◉ Somma di due punti allineati con l'origine: l'addizione (grafica, con la costruzione i un parallelogramma) di punti A e B allineati con 0 si effettua utilizzando un punto A' ausiliario non allineato con i due punti dati. Si somma A' con B (mediante la costruzione del parallelogramma di lati 0A' e 0B e poi si manda la parallela ad A'A passante per il punto A'+B, che incontra la retta 0A nel punto A+B. Con la stessa freccia (a meno di una traslazione) che porta A' in A, si porta A'+B in A+B. ◉ Vettore congiungente A con B: è il vettore che sommato ad A dà B; quindi esso è il vettore B-A; in formula: vettore(A,B) := A↑B := B-A . ◉ Vettore applicato (A,B): è la coppia con primo elemento A e secondo elemento B. La coppia di punti (A,B) è detta vettore applicato avente A come punto di applicazione. Due vettori applicati si dicono equipollenti, e si denota ciò scrivendo (A,B)≡(C,D), se e solo se: A↑B = C↑D (quindi: B-A=D-C). ◉ Le regole di base che governano il calcolo col simbolo di vettore, ricavabili immediatamente traducendo ogni vettore in una differenza, sono le seguenti (prova a dimostrarle da solo): ★ vettore nullo: A↑B = 0 se e solo se A = B ★ vettori opposti: - A↑B = B↑A ★ concatenazione: A↑B + B↑C = A↑C (leggi quest'ultima formula facendo precedere il simbolo operatoriale di vettore ↑ a quello di addizione +).

• 1. addizione e sottrazione
• 2. vettori

La funzione, biunivoca da C a C, definita dalla corrispondenza z ↦ z+w viene detta traslazione di spostamento w. Ponendo la seguente definizione: T[w](z) := z + w , possiamo attribuire la notazione T[w] alla traslazione di spostamento w.

• 1. addizione di punti e traslazione

● Tramite il punto unità (ossia il numero 1) e l'addizione si definiscono 2:=1+1, 3:=2+1,... e così via, permettendo di ottenere l'insieme N dei numeri naturali: N := {0,1,2,3,...}; mediante l'opposizione si ottiene l'insieme dei numeri interi relativi: Z := {0,1,-1,2,-2,3,-3,...}. ● Moltiplicazione a coefficienti interi: come da 1 si ottengono i numeri interi, partendo da un punto z si possono produrre i punti z+z, z+z+z, ecc... e i loro opposti; ciò conduce a definire un'operazione, detta moltiplicazione a coefficienti interi: 1z:=z, 2z:=z+z, 3z:=2z+z, ecc..., (-1)z:=-z, (-2)z:=-2z, (-3)z:=-3z, ecc..., completandone la costruzione con la definizione 0z := 0. ● Le proprietà di base della moltiplicazione a coefficienti interi, dimostrabili a partire dalla sua definizione e dai quattro assiomi additivi enunciati precedentemente, e dalle quali possono essere dedotte altre proprietà (teoremi), sono: ⋆ neutralità dell'uno: 1 z = z ⋆ associativa: m ( n z ) = ( m n ) z ⋆ distributiva a sinistra: n ( z + w ) = n z + n w ⋆ distributiva a destra: ( m + n ) z = m z + n z . [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/3a.html[/url]

• 1. Numeri naturali (ℕ) e interi relativi (ℤ)

● Numeri positivi e numeri negativi: abbiamo visto, all'inizio, che fra gli enti primitivi della teoria di C c'è l'insieme R⁺ dei numeri reali positivi. A partire da questo possiamo definire l'insieme R⁻ dei numeri negativi, che sono gli opposti dei numeri positivi. L'insieme R dei numeri reali è definito come l'unione R+ U {0} U R⁻ (numeri positivi, numeri negativi e 0). ● Da R⁺ all'ordinamento in R (relazioni < e > ): a partire da R⁺ possiamo anche definire gli ordinamenti in R: diremo che x è minore di y (x e y numeri reali), scrivendo, come è noto, x<y, quando y-x è in R⁺. In tal caso scriviamo anche; y>x (y maggiore di x). Inoltre, si introducono le notazioni per le relazioni "minore o uguale" (x≤y significa che x<y oppure x=y) e "maggiore o uguale" (x≥y significa che x>y oppure x=y). [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/3b.html[/url] [url]http://tinyurl.com/erreplus[/url] [url]http://tinyurl.com/errepluspagg5[/url]

• 1. Da R⁺ a R e alle diseguaglianze e disequazioni

Graficamente la moltiplicazione a coefficienti reali viene realizzata tramite la regola delle parallele di Talete: il segmento congiungente x con xv è parallelo al segmento congiungente 1 con v Osserviamo esplicitamente, come nel caso della precedente "regola del parallelogramma" per l'addizione, che si tratta di una regola "grafica" (che quindi rientra nell'ambito pratico del "disegno"), in quanto riguarda il modello concreto, non la teoria matematica che lo descrive. [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/3c.html[/url]

• 1. moltiplicazione e divisione
• 2. moltiplicazione, divisione, inversione - a colori

● Moltiplicatore e moltiplicando: nell'espressione del prodotto x•z il primo fattore x è detto moltiplicatore (e in questo caso è reale) e il secondo fattore z è detto moltiplicando. Estenderemo successivamente la moltiplicazione al caso di moltiplicatore complesso. ● Operatori di omotetia (moltiplicatore fisso): se si fissa un numero reale x, la funzione da C a C definita dalla corrispondenza z↦x•z è detta omotetia di rapporto x. Ponendo H[x](z) = x•z, si ottiene la notazione H[x] per tale omotetia. Come fatto con le traslazioni, possiamo far agire anche le omotetie su intere figure (vedi la figura qui a sinistra). ● Composizione di omotetie: in maniera analoga a quanto accade per la composizione di traslazioni, l'omotetia composta HxHy è tale che: (H[x]H[y])(z) = H[x](H[y](z)) = x(yz) = (xy)z = H[xy](z) e pertanto risulta: H[x]H[y] = H[xy] = H[yx] . [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/3d.html[/url]

• 1. moltiplicazione numero per punto

Operatore di parametrizzazione di retta (moltiplicando fisso): se si fissa un punto z, la funzione da R a C definita dalla corrispondenza x↦x•z è detta parametrizzazione lineare che porta 1 in z. Ponendo L[z](x) = x•z, si ottiene la notazione L[z] per tale parametrizzazione lineare. [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/3e.html[/url]

• 1. Ottenere rette, semirette e segmenti da R

Ortonormalità di 1 e i : introduciamo graficamente il punto i come quel punto che dista da 0 quanto ne dista 1 e che sta a sinistra di 0 guardando 1. Tale configurazione grafica è detta ortonormale. [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/4a.html[/url] [url]http://facebook.com/note.php?note_id=239209239465497[/url] [url]http://facebook.com/note.php?note_id=263898740329880[/url]

• 1. Operazioni numeriche elementari realizzate geometricamenrte

Le otto isometrie coordinate ● Componendo coniugazione e inversione delle coordinate (che sono le due simmetrie di base), abbiamo visto come, in maniera piuttosto articolata, si perviene all'opposizione. Se componiamo invece in modo semplice, a due a due, l'opposizione, conj e inv otteniamo i seguenti operatori (tutti lineari, in quanto conj e inv lo sono): l' identità: id: z↦z la coniugazione opposta: - conj : x+yi↦-x+yi la ortonormalità antioraria: ort : x+yi↦-y+xi la ortonormalità oraria: - ort : x+yi↦y-xi la inversione opposta: - inv : x+yi↦-y-xi . ● Mettendo insieme queste 5 trasformazioni con le tre di partenza otteniamo 8 isometrie (trasformazioni che non modificano la forma e le dimensioni delle figure), che possono essere suddivise in: 4 simmetrie assiali: conj, -conj, inv, -inv 4 rotazioni: id, ort, -id (l'opposizione), -ort . ● Possiamo esprimere, con opportune combinazioni, tutte le 8 isometrie coordinate tramite una simmetria assiale (conj) e una delle due ortonormalità, ad esempio l'antioraria ort. Pertanto la simmetria assiale conj e la rotazione ort costituiscono due isometrie di base. Prova a ottenere tramite conj e ort (combinandole una dopo l'altra) le altre 6. Ad esempio: id(P) = conj(conj(P)) e -id(P) = ort(ort(P)). Anche conj e inv possono essere scelte come isometrie di base. Prova ad esprimere ort come combinazione di esse (il termine correntemente usato è "composizione" di esse). [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/4b.html[/url] [url]http://www.facebook.com/photo.php?fbid=829952120391203[/url]

• 1. ottisometrie
• 2. Genesi della circonferenza/ellisse

Estensione della moltiplicazione a coefficienti reali alla moltiplicazione a coefficienti complessi: se z=x+yi, definiamo: z*w := x•w + y•ort(w). Dal momento che se z=x si ha y=0 e di conseguenza x*w = x•w. l'operazione * estende a CxC la moltiplicazione • già definita su RxC. Pertanto continueremo a denotare col simbolo • (oppure, come già abbiamo spesso fatto, senza alcun simbolo) la nuova operazione * , che continueremo a chiamare ancora moltiplicazione, precisamente moltiplicazione in C oppure moltiplicazione a coefficienti complessi. Riassumendo: moltiplicazione a coefficienti reali: ( x , w ) ↦ x•w moltiplicazione a coefficienti complessi: ( x + y•i , w ) ↦ x•w + y•ort(w) . [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/5a.html[/url]

• 1. moltiplicazione punto per punto - versione 1

Roto-omotetie ( o "rotomotetie") in C roto-omotetia di rapporto w: è l' omotetia in C già considerata nella fase precedente; poniamo la definizione: Rw : z ↦ z•w, ossia R[w](z) := z•w. R[w] è anche detta roto-omotetia di fattore w. La roto-omotetia R[w] : C → C estende da R a C la parametrizzazione L[w] : R → R•w . [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/5b.html[/url] Avvolgimento per approssimazione di una poligonale a spirale ad un arco di circonferenza unitaria: [url]www.facebook.com/photo.php?fbid=932038143515933[/url]

• 1. moltiplicazione e roto-omotetie
• 2. immagine rotoomotetica
• 3. Avvolgimento euleriano sulla circonferenza unitaria

Proporzioni fra numeri complessi ● Coordinate (ortonormali) di un punto a rispetto a un vettore non nullo u: sono i due numeri reali x e y,ossia la coppia (x,y), tali che: a = x•u + y•ort(u). Usiamo la notazione abbreviata: a ≡[u] ( x , y ). Esempi: x+yi ≡[1] ( x , y ) ; (x+yi)w ≡[w] ( x , y ) . ● Proporzioni espresse tramite coordinate: se v e w sono non nulli, la scrittura: v' : v = w' : w significa: v' ≡[v] (x,y) e w' ≡[w] (x,y) con gli stessi x e y . [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/5c.html[/url] "L'importanza di esser coniugati": [url]http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/coniugati.html[/url]

• 1. Proporzioni ... a due dimensioni

Le rotazioni intorno all'origine ● La roto-omotetia R[w] porta 1 in w. Nel caso accada che tale roto-omotetia porti w in 1, diciamo che R[w] è una rotazione (più correttamente: una rotazione intorno a 0) e che w è un numero complesso unitario. ● L'insieme dei numeri complessi unitari si chiama circonferenza unitaria ( notazione: U, oppure C₁ ). Sono elementi di U, ad esempio, 1, -1 , i, -i. [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/5d.html[/url]

• 1. Ruotare vuol dire ... cambiar base (con qualche vincolo)

Le isometrie dirette (o movimenti) ● Rotazione seguita da traslazione (roto-traslazione): è una trasformazione composta del tipo T[v]∘R[u] con u∈U e v∈C. ● Una figura F viene trasformata da una roto-traslazione in una figura F' che non solo mantiene sia la forma sia la grandezza di F, ma è ottenibile a partire da F senza uscire dal piano C, ossia con un movimento, "dentro" al piano stesso, che sovrappone F a F'. Per contro, la coniugazione porta una figura in un'altra di uguale forma e grandezza, ma ottenibile da quella di partenza solo con un ribaltamento intorno all'asse reale, quindi "uscendo" dal piano. Le roto-traslazioni sono perciò dette isometrie dirette o movimenti. [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/6a.html[/url]

• 1. Muoversi ... senza uscire dal piano

Le isometrie inverse (o invertenti) ● Coniugazione seguita da roto-traslazione: se, prima di eseguire una roto-traslazione, si esegue un ribaltamento intorno all'asse reale (ossia la isometria conj), si ottiene quel che si chiama una isometria inversa (o invertente). Pertanto, una isometria inversa è una trasformazione del tipo: T[v]∘R[u]∘conj con u∈U e v∈C. ● Le isometrie inverse e la sovrapponibilità di figure piane uscendo dal piano: se una figura F viene trasformata nella figura F' da un'isometria invertente, si ha che F e F' sono della stessa forma e grandezza, ma non è possibile portare F a sovrapporsi a F' se non uscendo dal piano. [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/6b.html[/url]

• 1. Uscire dal piano ... come da una porta d'Hotel

Similitudini dirette e inverse ● Composizione di una isometria diretta con una omotetia: le isometrie, sia dirette sia invertenti, mantengono la grandezza di una figura, ossia tutte le distanze fra i punti della figura. Se, prima di applicare una isometria, si applica una omotetia H[x] (con x reale non nullo), si può effettuare una dilatazione (se |x|>1) o una contrazione (se |x|<1) delle dimensioni della figura (nel caso in cui x=1 l'omotetia diventa l'identità e l'isometria non viene, quindi, modificata). Nel caso dell'isometria diretta, possiamo considerare tale trasformazione composta (omotetia seguita da isometria) come la composizione di una roto-omotetia e di una traslazione; infatti: T[v]∘R[w] = T[v]∘R[vers(w)]∘H[|w|]. Tale tipo di trasformazione è detta similitudine diretta. ● Se facciamo seguire la coniugazione da una similitudine diretta, avremo una "similitudine inversa". [url]http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/6c.html[/url]

• 1. Mantenersi in forma ... ma cambiando dimensioni

Le formule goniometriche di addizione: [url]www.facebook.com/note.php?note_id=239121526140935[/url] Isometrie coordinate,punti ed angoli associati, riduzione al primo ottante: [url]www.facebook.com/photo.php?fbid=801748409878241[/url]

• 1. Candelabro e stella a sei punte
• 2. Il triangolo ... Sì !

Linearizzare l'algebra lineare: vettori, matrici, determinanti, aree e teorema di Pitagora: [url]www.facebook.com/note.php?note_id=239457112774043[/url] Metodo di Cramer ... "more geometrico demonstratum": [url]www.facebook.com/note.php?note_id=239120309474390[/url] Coseno & seno e prodotti interno & esterno in C: [url]www.facebook.com/note.php?note_id=274401122612975[/url] Simmetrie assiali e determinanti: [url]www.facebook.com/note.php?note_id=668461543206929[/url]

• 1. Se negativa, un'area non fa male !

Teorema di Pitagora dimostrato mediante la ortorotazione: [url]www.facebook.com/photo.php?fbid=281033841956622[/url] Teorema di Pitagora dimostrato mediante proporzione bidimensionale: [url]www.facebook.com/photo.php?fbid=280307515362588[/url] Teorema di Pitagora dimostrato tramite un rombo: [url]www.facebook.com/photo.php?fbid=281881251871881[/url] Una dimostrazione "triangolare" del teorema di Pitagora: [url]www.facebook.com/informatematica/posts/141208845940537[/url] La "mia" dimostrazione per scomposizione del teorema di Pitagora: [url]www.facebook.com/informatematica/posts/178036975565423[/url] Teorema di Pitagora dimostrato tramite determinante e ortorotazione (antioraria): [url]www.facebook.com/note.php?note_id=239457112774043[/url] Relazione tra il concetto di "distanza" e il 2° teorema di Euclide (quello relativo all'altezza sull'ipotenusa): [url]www.facebook.com/informatematica/posts/146835052040186[/url] Da Piet Mondrian a ... Pyth Mondrian: [url]www.facebook.com/informatematica/posts/136584229736962[/url] SpesPyth: [url]www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#92[/url] SpesPyth in JsxGraph con il mio script JSXpaĝ ([url]http://tinyurl.com/jsxpag[/url]): [url]www.facebook.com/photo.php?fbid=923140894405658[/url]

• 1. L'illineare lunghezza dell'obliquo

Ortogonalità in R³ rispetto a una base: [url]http://w3.romascuola.net/gspes/ortogon.html[/url]

• 1. Ortogonalità e lunghezza in R³