Con frecuencia en la vida, nos enfrentamos con el problema de encontrar la mejor manera de hacer algo, por ejemplo:[br][br][list][*]Un granjero necesita elegir la mezcla de cultivos que sea la más apropiada para producir la mayor ganancia.[br][/*][*]Un médico desea seleccionar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad.[br][/*][*]A un fabricante le gustaría minimizar el costo de distribución de sus productos.[br][/*][/list][br]Algunas veces, un problema de este tipo puede formularse de modo que implique [b][color=#0000ff]maximizar[/color][/b] o [b][color=#0000ff]minimizar[/color][/b] una función en un conjunto específico.

Para encontrar el máximo (y/o mínimo) de una función cualquiera [i]f(x)[/i], resulta de:[br][br][list][*]Encontrar las raíces ([b][color=#0000ff]a[/color][/b]) de [b]f'(x)[/b]: [math]f'\left(a\right)=0[/math] [/*][*][b][color=#274e13]Máximo:[/color][/b] sí al evaluar [b][color=#0000ff]a[/color][/b] en [b][color=#274e13]f''(x) < 0[/color][/b][/*][*][b][color=#ff7700]Mínimo: [/color][/b]sí al evaluar [b][color=#0000ff]a[/color][/b] en [b][color=#ff7700]f''(x) > 0[/color][/b][/*][/list]

Para los problemas de aplicación en donde se requieren encontrar los máximos y mínimos (optimización):[br][br][list=1][*]Haga un dibujo del problema[br][/*][*]Asigne las variables idóneas para las cantidades importantes[/*][*]Escriba una función que se maximizará o minimizará, en términos de las variables [/*][*]Utilice las condiciones del problema para eliminar todas las variables. Hasta quedar en términos de [b]una[/b] variable[/*][*]Encuentre los máximos (o mínimos) de la función[/*][*]Revise los resultados.[/*][/list]

Una caja cuadrada se fabrica con una pieza de cartón de 6 cm de lado, de la cual se cortan cuadrados idénticos a partir de las cuatro esquinas y se doblan los lados hacia arriba.[br][br]Determine las dimensiones de la caja de volumen máximo. ¿Cuál es este volumen?

Siendo [i]x[/i] el lado de cuadrado a recortar y V el volumen de la caja resultante. Entonces:[br][br][center][math]V=alto\cdot base\cdot ancho=x\left(6-2x\right)\left(6-2x\right)=36x-24x^2+4x^3[/math][/center]Dado que lo mínimo a recortar es 0 y lo máximo es 3. Entonces el volumen a [b]maximizar[/b] está entre [0,3].[br]Para obtener el máximo, derivamos con respecto a la única variable:[br][br][center][math]\frac{dV}{dx}=36-48x+12x^2=0[/math][/center]Siendo las raíces x = 3 y x = 1.[br][br]¿Cuál valor es el resultado?