Zerlege einige selbst gewählte große Zahlen in Primfaktoren.

Zahlen der Form [math]\frac{10^n-1}{9}[/math] enthalten nur die Ziffer 1 (Repunit-Zahlen).[br][justify][b]Repunit[/b] ist ein Kofferwort aus den englischen Wörtern [i]repeated[/i] (wiederholt) und [i]unit[/i] (Einheit) und bezeichnet eine Zahl, die nur die Ziffer 1 enthält. Eine Repunit ist eine besondere Repdigit („Schnapszahl“); die Bezeichnung Repunit wurde 1966 von Albert H. Beiler geprägt. Im Deutschen wird auch die Bezeichnung [b]Einserkolonne[/b] oder [b]Einserschlange[/b] verwendet.[br]Eine [i]prime Repunit[/i] oder [i]Repunit-Primzahl[/i] ist eine Repunit, die zugleich eine Primzahl ist.[/justify]a) Finde mindestens 3 Hochzahlen n, für die die Zahl [math]\frac{10^n-1}{9}[/math]eine Primzahl ist.

b) Wie sehen die Quadrate der Repunit-Zahlen aus?[br]Die Ziffern sind immer gespiegelt.[br]z.B.: [br][list][*]121[/*][*]1234567901234567900987654320987654321[/*][/list]

Primzahlen der Form [math]2^n-1[/math]heißen Mersennesche Primzahlen. Eine Zahl der Form[math]2^n-1[/math]kann nur[br]dann prim sein, wenn die Hochzahl n eine Primzahl ist. Aber nicht für jede Primzahl n ist [math]2^n-1[/math] prim.[br][br][b]Mersenne-Zahlen[/b] wurden zuerst in der Antike im Zusammenhang mit vollkommenen Zahlen untersucht. Eine natürliche Zahl wird [i]vollkommen[/i] genannt, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist (Beispiel: 6=1+2+3). Schon Euklid hatte gezeigt, dass die Zahl [math]2^{n-1}\left(2^n-1\right)[/math] vollkommen ist, wenn [math]2^n-1[/math] eine Primzahl ist (n=2 liefert die Zahl 6). 2000 Jahre später wurde von Euler die Umkehrung für [i]gerade[/i] vollkommene Zahlen gezeigt: jede gerade vollkommene Zahl ist von der Form [math]2^{n-1}\left(2^n-1\right)[/math], wobei [math]2^n-1[/math] eine Primzahl ist.[br]Ungerade vollkommene Zahlen sind bisher nicht gefunden worden, es konnte aber auch noch nicht bewiesen werden, dass es sie nicht gibt.[br][br]Finde einige Beispiele für Mersennesche Primzahlen.

Finde einige Hochzahlen n, für die die Zahl [math]10^n+1[/math] keine Primzahl ist.

Finde einige Hochzahlen n, für die die Zahl [math]100^n-10^n-1[/math] keine Primzahl ist.

Zeige, dass die folgende siebzigstellige Zahl eine Primzahl ist:[br]1234567891234567891234567891234567891234567891234567891234567891234567