Vereinfachte Darstellung: bei Verwendung der Wurzeln sind zusätzliche Fallunterscheidungen nötig, d.h. die Lösungen sind allgemeiner als hier dargestellt, was von der Doppeldeutigkeit bei der Umkehrung nicht monotoner Funktionen zusammenhängt und der Notwendigkeit, sich dabei[br]auf einen Teil der Definitionsmenge zu beschränken.[br][br][table][tr][td]hyperbolisch                                                        [br][/td][td]goniometrisch[/td][/tr][tr][td]f(x)=sinhyp(x) : f'(x) = g(x)=coshyp(x)[br][/td][td]f(x)=sin(x): f'(x)=g(x)=cos(x)[br][/td][/tr][tr][td]g(x)=coshyp(x) :g'(x) = f(x)=sinhyp(x)[br][/td][td]g(x)=cos(x):g'(x)=-f(x)=-sin(x)[/td][/tr][tr][td][b]Differentialgleichung 2. Ordnung[br][/b][br]f''(x)=f(x) [math]\wedge g''(x)=g(x)[/math][br][/td][td][br][br][b][/b]f''(x)=-f(x) [math]\wedge g''(x)=-g(x)[/math][/td][/tr][/table][table][tr][td]h(x)=tanhyp                                                          [br]h'(x) = [math]\frac{1}{g\left(x\right)^2}=1-h\left(x\right)^2[/math][br][/td][td]h(x)=tan(x): [br]h'(x)= [math]\frac{1}{g\left(x\right)^2}=1+h\left(x\right)^2[/math][br][/td][/tr][/table]Bei Verwendung der Grundgleichungen:[br]coshyp²(x)-sinhyp(x)²=1                                            sin²(x)+cos²(x)=1   ergeben sich[br][b][br]Differentialgleichungen 1.Ordnung für:[br][br][/b][table][tr][td]f(x)=sinhyp(x):   [math]y'=\sqrt{1+y^2}                            [br][/math][/td][td]                      f(x)=sin(x):   [math]y'=\sqrt{1-y^2}[/math][br][/td][/tr][tr][td]g(x)=coshyp(x):   [math]y'=\sqrt{y^2-1}[/math][br][/td][td]                      g(x)=cos(x):   [math]y'=-\sqrt{1-y^2}[/math][br][/td][/tr][tr][td]h(x)=tanhyp(x):   [math]y'=1 - y²[/math][br][/td][td]                       h(x)=tan(x):   [math]y'=1+ y²[/math][/td][/tr][/table][br][br][table][tr][td][br][/td][/tr][/table]