Die folgenden Seiten sollen die Zusammenhänge zwischen [i][b]quadratischen Vektorfeldern[/b][/i], [i][b]symmetrischen komplexen Bilinearformen[/b][/i] auf [math]\mathbf\cal{G}[/math], [i][b]HERMITE'schen Formen[/b][/i], [i][b]elliptischen Funktionen[/b][/i] und [i][b]konfokalen bizirkularen Quartiken[/b][/i] klären. [br][br][u][i]Übersicht in Kürze[/i][/u]:[br]Die von einer 2. Bilinearform auf [math]\mathbf\cal{G}[/math] herrührenden quadratischen Vektorfelder besitzen als Lösungen in jedem euklidischen KOS komplex-analytische Funktionen [math]f(z)[/math], die jeweils einer elliptischen Differential-Gleichung im weitesten Sinne genügen.[br]Bei geeigneter Normierung der Bilinearform sind die Kurven [math]x\mapsto f\left(x+i\cdot y\right),\;y=const[/math] und [math]y\mapsto f\left(x+i\cdot y\right),\;x=const[/math] konfokale bizirkulare Quartiken [b]dann und nur dann[/b], wenn die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] der 4 Nullstellen, also der Brennpunkte des quadratischen Feldes reell ist. [br][br][size=50][size=85]Die absolute Invariante der 4 Nullstellen ist im Wesentlichen identisch mit der absoluten Invariante der elliptischen Differentialgleichung und der absoluten Invariante der zu der Bilinearform gehörenden selbstadjungierten Abbildung [b]S[/b].[/size][/size][br][br]Der Nachweis dieses Zusammenhangs geschieht in mehreren Schritten:[br]Ist die Invariante reell, so besitzt das quadratische Vektorfeld mindestens eine Symmetrie, es ist also invariant unter einer Kreisspiegelung [b]K[/b]. [b]K[/b] ist vertauschbar mit der zugehörigen selbstadjungierten Abbildung [b]S[/b].[br]Mit Hilfe dieser Spiegelung und der charakteristischen Gleichung von [b]S[/b] kann man eine Schar [i][b]Hermitescher Abbildungen[/b][/i] [math]\mathbf{H}_\lambda[/math] konstruieren, für die [math]\mathbf{H}_\lambda\,^2=\mathbf{S}-\lambda\cdot \mathbf{Id}[/math] gilt, wir bezeichnen diese Hermiteschen Abbildungen als [i][b]Hermitesche Wurzeln[/b][/i] von [b]S[/b].[br]Die Kurven der Schar [math]\mathbf\vec{p}\left(z\right)\bullet \mathbf{H}_{\lambda}\mathbf\vec{p}\left(z\right)=0[/math] erweisen sich als konfokale bizirkulare Quartiken, deren Brenn-Punkte die Nullstellen des Vektorfeldes sind.[br][br]Diese Kurven entstehen geometrisch aus den Schnitten der Möbiusquadrik im projektiven Raum [math]\mathbb{P}_3(\mathbb{R})[/math] mit jeweils einer 2. Quadrik. Man kann nachweisen, dass eine Bijektion zwischen diesen Schnittkurven und den Hermiteschen Abbildungen des Geradenraums besteht. Diesen Zusammenhang deuten wir nur an.[br][br]Wir leiten die Kurvengleichungen auf einem anderen Wege her: die Spiegelung [b]K [/b]zerlegt den Geradenraum in Geraden, welche im [math]\mathbb{P}_3\left(\mathbb{R}\right)[/math] durch den Kreispunkt gehen, und solche, die in der Kreisebene liegen.[br]In der Kreisebene wird durch die selbstadjungierte Abbildung [b]S[/b] ein Kegelschnittbüschel erzeugt, welches aus denjenigen Kegelschnitten besteht, die die Tangenten der Brennpunkte mit dem Kreis gemeinsam haben.[br]Die Projektion dieser Kegelschnitte auf die Möbiuskugel ergibt die konfokale Schar bizirkularer Quartiken.[br][br]Offen bleibt die Frage, von welcher Art die Lösungskurven quadratischer Vektorfelder sind, falls die absolute Invariante [i][b]nicht reell[/b][/i] ist. Da elliptische Funktionen dieses Typs doppelt-periodisch sind, gibt es geschlossenen Lösungskurven. Selbst in der "Bibel" über [b]Spezielle Ebene Kurven[/b] von [i][b]H. Wieleitner[/b][/i] sind wir zu dieser Frage nicht fündig geworden (Literaturverzeichnis [b][WIEL][/b]).[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]