Dalle derivate ai teoremi del calcolo differenziale

Gian Lodovico Miari, Feb 24, 2016

Raccolta - in corso di definizione

Table of Contents

  1. Punti stazionari e punti non derivabili
    1. Introduzione ai punti non derivabili
    2. Punti non derivabili
    3. Punti stazionari ed estremi locali
    4. Definizioni di punto stazionario ed estremi assoluti
    5. Il giro d'Italia
    6. Minimi e massimi relativi
    7. Condizione necessaria per gli estremi locali
    8. Ancora sui punti stazionari e non derivabili
  2. Teorema Rolle, Lagrange e corollari
    1. Teorema di Rolle
    2. Teorema di Lagrange
    3. Teorema di Lagrange: determiniamo c

1.

Punti stazionari e punti non derivabili

  • 1. Introduzione ai punti non derivabili
  • 2. Punti non derivabili
  • 3. Punti stazionari ed estremi locali
  • 4. Definizioni di punto stazionario ed estremi assoluti
  • 5. Il giro d'Italia
  • 6. Minimi e massimi relativi
  • 7. Condizione necessaria per gli estremi locali
  • 8. Ancora sui punti stazionari e non derivabili

1.1.

Introduzione ai punti non derivabili

[color=#ff0000]Data una funzione [/color][math]f\left(x\right)[/math][color=#ff0000] definita in un intervallo I e un punto [/color][math]c ∈ I [/math][color=#ff0000] , diremo che [/color][math]f \left( x \right) [/math][color=#ff0000]  è [b]derivabile in c[/b] se [u]esiste finita la derivata della funzione in c.[/u][br][/color][u][br][br][/u] Ovvero se:[br][list=1][*]esistono limite destro e limite sinistro del rapporto incrementale;[/*][*]tali limiti sono finiti; [/*][*]tali limiti coincidono.[/*][/list][br]Può risultare utile introdurre altre due definizioni:[br][color=#0000ff][b]derivata sinistra [/b] [/color]di una funzione [math]f\left(x\right)[/math] nel punto c [math]f_{-}^{'}c = lim_{h → 0^{-}}⁡ \frac{f c + h - f \left( c \right)}{h}[/math] [br][b][color=#0000ff]derivata destra[/color] [/b] di una funzione [math]f \left( x \right) [/math]  nel punto c [math]f_{+}^{'}c = lim_{h → 0^{+}}⁡ \frac{f c + h - f \left( c \right)}{h}[/math]
Dunque nel dominio di [math]f\left(x\right)[/math] possiamo trovare punti nei quali la funzione non è derivabile, detti [b]punti non derivabili.[br][br][/b]
Sfruttiamo il foglio di Geogebra per approfondire il discorso: spuntando le caselle vedremo il grafico delle funzioni; spostando il punto osserviamo come si modifica la retta tangente.
Esistono situazioni nelle quali la retta tangente "sparisce"?
Esistono situazioni nelle quali la retta tangente cambia "bruscamente" direzione?
Esistono situazioni nelle quali la retta tangente è orizzontale?
Quale funzione sembra che abbia tutti i suoi punti derivabili?
Le dispense le trovi al seguente [url=https://drive.google.com/open?id=0B9e3XwXJo5SIMGJRVjZWaWV3YWs]link[/url]
– Gian Lodovico Miari

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

2.

Teorema Rolle, Lagrange e corollari

  • 1. Teorema di Rolle
  • 2. Teorema di Lagrange
  • 3. Teorema di Lagrange: determiniamo c

2.1.

Teorema di Rolle

Sia [math]f\left(x\right)[/math] continua in [math]\left[a,b\right][/math] e derivabile in ]a,b[ [br]Sia [math]f\left(a\right)=f\left(b\right)[/math][br]Allora esiste almeno un [math]x=c\in[/math]]a,b[ tale che [math]f'\left(c\right)=0[/math]
Sia [math]f\left(x\right)[/math] continua in [math]\left[a,b\right][/math] e derivabile in ]a,b[ [br]Sia [math]f\left(a\right)=f\left(b\right)[/math][br]Allora esiste almeno un [math]x=c\in[/math]]a,b[ tale che [math]f'\left(c\right)=0[/math][br][br][br][url=https://drive.google.com/open?id=0B9e3XwXJo5SIMGJRVjZWaWV3YWs]Vedere pdf appunti per ulteriori informazioni [/url][br][br]Utilizziamo un foglio di Geogebra creato da un altro utente per chiarire:
– Simona Riva, Gian Lodovico Miari

2.2.

–

2.3.

–

Information