Was ist ein "[color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]"? Was ist ein "[color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]", eine "[color=#0000ff][i][b]Leitgerade[/b][/i][/color]" oder eine "[color=#0000ff][i][b]Direktrix[/b][/i][/color]"?[br][size=85]Versucht man, sich über diese Fragen schlau zu machen, stößt man auf eine gewisse mathematische Unbestimmtheit: Der Begriff "[color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]" sei entlehnt aus der Optik: "der Ort, in welchem sich Strahlen bündeln". Und zur "[color=#0000ff][i][b]Leitgerade[/b][/i][/color]" wird meist beispielhaft auf die [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color] verwiesen und der [i][b]orthoptischen[/b][/i] Eigenschaft der Leitgerade: Die Tangenten an die [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color] sind von den Punkte der [color=#0000ff][i][b]Leitgerade[/b][/i][/color] aus gesehen orthogonal. Das stimmt schon für die [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color] nicht mehr: weder für den [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color], noch für die [color=#0000ff][i][b]Leitgerade[/b][/i][/color].[br]Wir meinen, dass diese Begriffe [i][b]möbiusgeometrischer Natur [/b][/i]sind. Versteht man Kreisbüschel kinematisch als die Ausbreitung von Wellen von einem oder zwei Büschelpunkten aus, dann kann man in erster Ordnung die Nullstellen der linearen Vektorfelder als [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] bezeichnen. Kennzeichnend ist, dass Wellenfront und Ausbreitungsrichtung [i][b]orthogonal[/b][/i] sind. [br]Betrachtet man die Überlagerung von zwei solchen linearen Vektorfelder, so landen wir bei quadratischen Vektorfeldern. Die Nullstellen sind [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], von denen, oder zu denen die Wellen sich bewegen. Als Resultierende zweier Wellenbewegungen durch einen Punkt bieten sich die [color=#ff0000][i][b]Winkelhalbierenden[/b][/i][/color] an. Auch hier hat man es wieder mit zwei [i][b]orthogonalen[/b][/i] Richtungen zu tun. Wie schon erwähnt, können wir über die Integralkurven mehr als die genannte Eigenschaft, [color=#ff0000][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] zu sein, nichts aussagen. Es gibt unter diesen Integralkurven geschlossene Kurven, über die wir im Falle einer nicht-reellen absoluten Invarianten nichts weiter aussagen können. [br]Ist jedoch die [b][i]absolute Invariante[/i][/b] der 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] reell, so sind [color=#ff7700][i][b]konfokale bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] die [color=#ff0000][i][b]Winkelhalbierenden[/b][/i][/color] der sich überlagernden Wellenbewegung.[/size]

Im obigen Applet sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf dem [color=#BF9000][i][b]absoluten Kreis [/b][/i][/color]beweglich. Erfasst werden also die Fälle:[br][list][*]4 verschiedene [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf einem Kreis: [color=#ff7700][i][b]2-teilige bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color][/*][*]2 einfache [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] und ein doppelt zählender Brennpunkt: man lasse 2 der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] zusammen fallen. [color=#ff7700][i][b]Konfokale Kegelschnitte[/b][/i][/color] [size=85](wenn man den doppelt zählenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] als [math]\infty[/math] wählt![/size]).[/*][*]1 einfach- und ein dreifach-zählender [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] ([math]\infty[/math]): [color=#ff7700][i][b]konfokale Parabeln[/b][/i][/color].[/*][/list]Der Fall mit [i]negativer reeller Invariante[/i] wird extra behandelt.[br][right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size][/right]