ピックの定理

Bunryu Kamimura, Feb 14, 2017

多角形の頂点が全て格子点上にあるとき、その面積は・・・？ 格子点の数を数えるだけで求めることができる不思議な定理。 この定理を発見したゲオルグ・アレクサンダー・ピックは、オーストリアの数学者で、世界大戦の時ナチスの収容所で死んだ。

Table of Contents

  1. ピックの定理とは？
    1. 正方形の面積は？
    2. ピックの定理の発見
    3. ピックの定理
  2. ピックの定理が成り立つわけ
    1. 長方形におけるピックの定理
    2. 直角三角形におけるピックの定理
    3. ピックの定理　三角形の場合
    4. ピックの定理　四角形
    5. 内＋外÷２－１になるわけ
  3. ドーナッツ型の多角形だと？
    1. ピックの定理　ドーナッツ型
    2. 穴が２コの場合
  4. 森原の定理
    1. 森原の定理
    2. 森原の定理　その２
  5. ピックの定理の拡張
    1. 六角格子点の面積
    2. 六角格子の面積は？
    3. ピックの定理を立体に拡張すると

1.

ピックの定理とは？

格子点に頂点がある多角形の面積にはある法則がある。 それを見つけてみよう。

  • 1. 正方形の面積は？
  • 2. ピックの定理の発見
  • 3. ピックの定理

1.1.

正方形の面積は？

(1)面積はいくつですか？　(2)Gを横に動かすと面積は？　(3)格子点の数と面積の関係は？
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

1.3.

–

2.

ピックの定理が成り立つわけ

この公式になる理由を、長方形で考えてみよう。 次に、直角三角形、そして、三角形。 今度は逆に三角形からどんな多角形でもできる。

  • 1. 長方形におけるピックの定理
  • 2. 直角三角形におけるピックの定理
  • 3. ピックの定理　三角形の場合
  • 4. ピックの定理　四角形
  • 5. 内＋外÷２－１になるわけ

2.1.

長方形におけるピックの定理

縦×横＝面積から定理を導く。Cを横に動かしてみよう。縦と横は長さ。
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

3.

ドーナッツ型の多角形だと？

ここで、オイラーの多面体定理が出てくる。

  • 1. ピックの定理　ドーナッツ型
  • 2. 穴が２コの場合

3.1.

ピックの定理　ドーナッツ型

ドーナッツ型の多角形だとどうなるのだろうか？
– Bunryu Kamimura

3.2.

–

4.

森原の定理

格子点の真ん中に面積点を作ると、この公式が出てくる。 ピックの定理と双対の定理。

  • 1. 森原の定理
  • 2. 森原の定理　その２

4.1.

森原の定理

これすごい！　面積点とは半整数格子点のこと。「森原則男さんは、ピックの定理が辺上の格子点を直線上の点も 頂点も同一に扱っていることに疑問を 持ち、この定理を考えた。そして、平面上の点で面積への貢献度ということを考えると、格子点よりも各升目の正方形の中心の点に注目したほうがよいと考えて、まず、この点を「面積点」と名づけた。」
– Bunryu Kamimura

4.2.

–

5.

ピックの定理の拡張

格子を変えたらどうなるのだろうか。 ２次元で穴を二つにするとどうなるのだろう。 ３次元にするとどうなるのだろう。

  • 1. 六角格子点の面積
  • 2. 六角格子の面積は？
  • 3. ピックの定理を立体に拡張すると

5.1.

六角格子点の面積

格子の作る正三角形の面積を１とします。
– Bunryu Kamimura

5.2.

–

5.3.

–

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