On considère un rectangle ABCD tel que AB = 5 et BC = 3.[br]On place les points M, N et P respectivement sur les segments ]AB[, ]BC[ et ]AD[ de telle sorte que les longueurs AM, BN et DP soient égales.[br]Il s'agit de déterminer la position du point M sur le segment [AB] pour que l'aire du triangle MNP, inscrit dans le rectangle, soit minimale.[br][br][i]Construction[/i][br][list][br][*] On affiche les axes.[br][*] On construit le rectangle ABCD avec A et B sur (Ox) - Le point A a pour abscisse x(A).[br][*] Puis on définit a = 1, et on affiche le curseur a ainsi défini, en indiquant dans ses propriétés Min = 0 et Max = 3.[br][*] Avec a = AM = BN = DP, on crée le triangle avec les points M(x(A) + a, 0), N(x(A) + 5, a) et P(x(A), 3 - a), puis on nomme b le triangle MNP, GeoGebra renvoie son aire.[br][*] On construit enfin le point L de coordonnées (a, b) dont on active la trace.[br][/list][br]Placer un curseur [i]a[/i] et tracer la figure en plaçant un point M sur [AB] de coordonnées (x(A)+[i]a[/i], 0). Nommer b le triangle MNP.[br]Pour le graphique, placer un point L et remplacer ses coordonnées par ([i]a, b[/i]) ; il aussi possible de taper directement dans la ligne de saisie : L=([i]a,b[/i]).[br]Activer la trace de ce point ou bien, en sélectionnant la dernière option du menu droite, tracer le lieu de L piloté par le curseur [i]a[/i].

[i]Conjecture[/i][br]On peut dès lors faire varier [i]a[/i] et conjecturer [i]b[/i] = 3,5 pour[i] a[/i] = 2.[br][br][i]Parabole avec GeoGebra[/i][br][list][br][*] En déplaçant le curseur a sur toute sa longueur, on observe que la trace semble être une branche de parabole.[br] Pour effacer la trace du point L, cliquer sur « Réinitialiser la construction » ou appuyer simultanément sur les deux touches CTRL et F.[br][*] Cocher la case parabole de recherche, saisir la fonction carré f(x) = x^2, et l'«amener » sur la trace par trouve la fonction f représentant l'aire.[br][*] Cocher la case parabole solution : GeoGebra affiche alors la fonction[br] (x - 2)² + 3,5 = x² - 4x + 7,5, ce qui permet de répondre à la question.[br] [/list][br]En effet, le calcul de l'aire est du second degré. Vérifier la parabole sur trois points suffit pour valider le résultat.[br][br]Descartes et les Mathématiques - Optimisation en classe de seconde : [url]http://www.debart.fr/geogebra/triangle_ds_rectangle_classique.html[/url]