Dans le plan, la loi des sinus met en relation les paires angle-côté. On a, par exemple, pour les paires angle-côté [math]Aa[/math] et [math]Bb[/math] :[br][center][math]\frac{\sin(A)}{a}=\frac{\sin(B)}{b}[/math][/center]On peut trouver une relation similaire pour les triangles sphériques.

Nous pouvons découper une ribambelle d'identités concernant les triangles sphériques,[br]particulièrement si l'on ne se concentre que sur les triangles sphériques rectangles (comme dans le plan).[br][br]Rappelons que si [math]\triangle \textcolor{red}{A}\textcolor{olivegreen}{B}\textcolor{blue}{C}[/math] est un triangle (plan) rectangle en [math]\textcolor{blue}{C}[/math], alors, par exemple,[br][br][center][math]\sin(\textcolor{red}{A}) = \frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{c}}[/math][/center]Il se trouve une identité semblable pour tout triangle sphérique rectangle.

Le tout repose sur les faits suivants concernant des plans perpendiculaires, qui sembleront évidents à tout étudiant de géomatique.

Rappelons qu'une droite est perpendiculaire à un plan si, peu importe d'où on l'observe en se trouvant sur le plan, elle s'élève à angle droit (par exemple, peu importe d'où l'on regarde un gratte-ciel, il est perpendiculaire au sol). [On dirait, peut-être plus précisément, que la droite est perpendiculaire à toute droite contenue dans ce plan.] Nous avions exploité cette idée afin de trouver une formule permettant de calculer la distance entre deux points dans l'espace.[br][br]On peut garantir qu'un poteau se tient droit (dans le sens de perpendiculaire au sol) en s'assurant qu'il soit perpendiculaire à deux directions quelconques (c'est d'ailleurs comment fonctionne les niveaux de coin pour poteaux) . [i][url=https://ggbm.at/deKRUhpS]Il faudrait montrer sérieusement cette affirmation, mais contentons-nous de l'évidence [ou cliquez sur cette phrase]...[/url][/i]

Pour ces mêmes raisons, si deux murs (deux plans) sont perpendiculaires au sol (un plan), alors la droite là où ils se rencontrent sera aussi perpendiculaire au sol.

L'appliquette ci-dessous utilise ces deux constatations afin de trouver une identité fort intéressante concernant les triangles sphériques rectangles.

On sait désormais que, dans tout triangle sphérique rectangle,[br][br][center][math]\boxed{\sin(\textcolor{red}{A})=\frac{\sin(\textcolor{red}{a})}{\sin(\textcolor{blue}{c})}}[/math][/center][table][tr][td][b][color=#b6b6b6][size=200][/size][size=100][size=150][/size][size=200]REMARQUE[/size][size=150][/size][/size][/color][color=#999999][/color][/b][/td][td][i][color=#444444][i]La similitude avec l'identité [/i][math]\sin(\textcolor{red}{A}) = \frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{c}}[/math][i] pour un triangle rectangle dans le plan est frappante.[/i][/color][/i][/td][/tr][/table][br]On aurait développé le même argumentaire, mais en partant du sommet [math]B[/math], et l'on aurait obtenu :[br][br][center][math]\boxed{\sin(\textcolor{olivegreen}{B})=\frac{\sin(\textcolor{olivegreen}{b})}{\sin(\textcolor{blue}{c})}}[/math][/center]

Armés de l'identité[br][center][math]\sin(A)=\frac{\sin(a)}{\sin(c)}[/math][/center]qui tient dans tout triangle sphérique rectangle, nous pouvons découvrir la loi des sinus sphérique.[br][br]Pour ce faire, nous abaissons une hauteur [math]h[/math] [sphérique!] à partir, par exemple, du sommet [math]C[/math] (nous supposons que ce sommet tombe bel et bien sur le côté opposé; autrement, il suffit de modifier légèrement l'argumentaire).

Nous avons alors que[br][center][math]\sin(A)=\frac{\sin(h)}{\sin(b)} \text{ et } \sin(B)=\frac{\sin(h)}{\sin(a)} [/math][/center]En isolant [math]\sin(h)[/math] dans les deux équations, l'on trouve[br][br][center][math]\sin(h)=\sin(A) \sin(b) \text{ et } \sin(h)=\sin(B) \sin(a) [/math][/center]d'où[br][center][math]\sin(A) \sin(b)=\sin(B) \sin(a) [/math][/center] et[br][center][math]\boxed{\frac{\sin(A)}{\sin(a)} =\frac{\sin(B)}{\sin(b)} }[/math][/center]qui est la [b]loi des sinus sphérique[/b]!