Sendo [b]A[/b] e [b]B[/b] conjuntos não vazios, uma relação [i]F[/i] de [b]A[/b] → [b]B[/b] (lê-se [b]A[/b] em [b]B[/b]) é denominada aplicação de [b]A[/b] – domínio, conjunto de partida – em [b]B[/b] – contradomínio, conjunto de chegada –, ou função definida em [b]A[/b] com imagens em [b]B[/b] se para todo [b]x[/b] ∈ [b]A[/b] existe um só [b]y[/b] ∈ [b]B[/b], tal que ([b]x[/b],[b]y[/b]) ∈ [i]F[/i].
A função quadrática, ou função polinomial do segundo grau, é uma aplicação [i]F[/i] de [url=http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\mathbb{R}][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{R}[/img][/url] → [url=http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\mathbb{R}][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{R}[/img][/url] que associa a cada [b]x[/b] o elemento ([b]ax² [/b]+[b] bx [/b]+[b] c[/b]) ∈ [url=http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\mathbb{R}][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{R}[/img][/url], em que [b]a[/b], [b]b[/b] e [b]c[/b] são números reais dados e [b]a[/b] ≠ 0. Pois se [b]a[/b] = 0, não teremos mais uma função quadrática e sim uma função afim: [b]y[/b] = [b]bx[/b] + [b]c[/b].
Como pôde-se perceber, na imagem acima, o gráfico da função quadrática é uma parábola.
A parábola representativa da função quadrática pode ter sua concavidade voltada para cima ou para baixo. Isso dependerá do sinal de [b]a[/b]:[br][br][list][*]Se [b]a[/b] > 0, a concavidade será voltada para cima.[/*][/list][list][*]Se [b]a[/b] < 0, a concavidade será voltada para baixo.[/*][/list]
A construção do gráfico da função quadrática através de uma tabela de valores de [b]x[/b] e de [b]y[/b] nem sempre é precisa, pois pode acontecer que em certa função o valor da abscissa (valor de [b]x[/b]) ou da ordenada (valor de [b]y[/b]) não seja inteiro.[br][br]Para iniciarmos um estudo mais detalhado da função, vamos transformá-la em outra forma mais adequada, chamada forma canônica.[br][br][list][*][math]f(x)=ax^2+bx+cx\longrightarrow[/math] Colocamos em evidência:[/*][*][math]f\left(x\right)=a.\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)\longrightarrow[/math] Adicionamos e subtraímos [math]\frac{ab^2}{4a^2}[/math]:[/*][*][math]f\left(x\right)=a.\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)+\frac{ab^2}{4a^2}-\frac{ab^2}{4a^2}\longrightarrow[/math] Colocamos novamente [b]a[/b] em evidência:[/*][*][math]f\left(x\right)=a.\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)+a\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}\right)=a.\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}\right)[/math][br][math]f\left(x\right)==a.\left[\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right]=a.\left[\left(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)-\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)\right][/math][br][math]f\left(x\right)=a.\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right]=a.\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right][/math][br][br][/*][/list]Portanto, a forma canônica da função quadrática é:[br][math]f\left(x\right)=a.\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right][/math]
Os zeros ou raízes da função são os valores de x para os quais [math]f\left(x\right)=0[/math].[br][math]f(x)=ax^2+bx+c=0\longrightarrow[/math] Utilizando a forma canônica temos:[br][br] 1. Considerando [b]a[/b] = 0, então:[br] [math]f\left(x\right)=a.\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]\Longrightarrow a=0[/math][br] [math]\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]=0[/math][br][br] 2. Mas sabemos que [b]a[/b] ≠ 0, então:[br] [math]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\Delta}{4a^2}\right)=0\Longrightarrow\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\Longrightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Longrightarrow x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}[/math][br][br]Portanto:[br][math]x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}[/math][br][br]Observemos que, para existir raízes reais na equação do segundo grau, precisamos que [math]\sqrt{\Delta}[/math] seja real. Logo, temos três casos:[br][br] 1. [math]\Delta>0[/math] e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e distintas, que serão:[br] [math]x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/math] e [math]x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/math].[br][br] 2. [math]\Delta=0[/math] e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e iguais, que serão:[br] [math]x_1=x_2=\frac{-b}{2a}[/math].[br][br] 3. [math]\Delta>0[/math] e sabemos que, neste caso, [math]\sqrt{\Delta}\notin\mathbb{R}[/math], portanto, diremos que a equação não apresentará raízes reais.[br][br]Interpretando geometricamente, os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo [b]x[/b].
Sendo [math]Im\left(f\right)[/math] o conjunto imagem, dizemos que [math]y_M\in Im\left(f\right)[/math] é o valor de máximo da função [math]y=f\left(x\right)[/math] se, e somente se, [math]y_M\ge y[/math] para qualquer [math]y\in Im\left(f\right)[/math]. E então, o número [math]x_M\in D\left(f\right)[/math] sendo [math]D\left(f\right)[/math] o conjunto domínio, é chamado de ponto de máximo da função.[br][br]Dizemos que [math]y_M\in Im\left(f\right)[/math] é o valor de mínimo da função [math]y=f\left(x\right)[/math] se, e somente se, [math]y_M\le y[/math] para qualquer [math]y\in Im\left(f\right)[/math]. E então, o número [math]x_M\in D\left(f\right)[/math] é chamado de ponto de mínimo da função.[br][br]Sucintamente, podemos dizer que:[br][br] 1. Se [b]a[/b] < 0, a função quadrática admite o valor máximo [math]y_M=-\frac{\sqrt{\Delta}}{4a}[/math], para [math]x_M=-\frac{b}{2a}[/math].[br][br] 2. Se [b]a[/b] > 0, a função quadrática admite o valor mínimo [math]y_M=-\frac{\sqrt{\Delta}}{4a}[/math], para [math]x_M=\frac{b}{2a}[/math].
O ponto V [math]\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)[/math] é chamado vértice da parábola.