[b]Euler-Verfahren[/b][br]Sind für einen Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt t[sub]0[/sub] der Ort und die wirkenden Kräfte (und damit die Beschleunigung) bekannt, so kann man die Bahn des Körpers (unter Umständen) durch Lösen der Bewegungsgleichung analytisch berechnen.[br][br]Eine andere Möglichkeit ist die schrittweise näherungsweise Berechnung der Größen Ort und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t+Δt aus den Größen zum Zeitpunkt t. [br]Ein einfaches numerisches Verfahren ist das [i]Euler-Verfahren[/i].[br][br][b]Euler-Verfahren[/b][br]t[sub]neu[/sub] = t[sub]alt[/sub] + Δt[br]v[sub]neu[/sub] = v[sub]alt[/sub] + a·Δt[br]s[sub]neu[/sub] = s[sub]alt[/sub] + valt·Δt[br][size=85](t Zeit, v Geschwindigkeit, s Ort)[br][br][/size][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit den Schiebereglern die Parameter für den schiefen Wurf.[br]Wie verändert sich die Genauigkeit der Berechnung für kleineres oder größeres Δt?

Beim Euler-Verfahren wird die Geschwindigkeit am Beginn eines Zeitintervalls Δt verwendet. Diese Geschwindigkeit bleibt aber nicht für das ganze Zeitintervall gleich, sondern ändert sich. Um dies besser auszugleichen, kann man die Geschwindigkeit in der Mitte des Zeitintervalls Δt zur Berechnung verwenden.[br]Man nimmt also für den ersten Wert der Geschwindigkeit v[sub]0[/sub] + a·Δt/2 und geht anschließend wie bei der Euler-Methode vor.[br][br][b]Halbschritt-Verfahren[br][/b]Startwert für die Geschwindigkeit: [math]v_0+a\cdot\frac{\Delta t}{2}[/math] (v[sub]0[/sub] Abschussgeschwindigkeit)[br]t[sub]neu[/sub] = t[sub]alt[/sub] + Δt[br]v[sub]neu[/sub] = v[sub]alt[/sub] + a·Δt[br]s[sub]neu[/sub] = s[sub]alt[/sub] + v[sub]alt[/sub]·Δt[br][size=85](t Zeit, v Geschwindigkeit, s Ort)[br][br][/size][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit den Schiebereglern die Parameter für den schiefen Wurf.[br]Wie verändert sich die Genauigkeit der Berechnung für kleineres oder größeres Δt?

[i]Hinweis[/i]:[br]Wie man beim Einblenden der exakten Lösung sieht, liegen alle Punkte, die mit der Halbschrittmethode [br]berechnet werden, auf der exakten Bahnkurve. Dies gilt nur für parabelförmige Kurven.[br][br][i]Begründung[/i][br][math]f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c[/math][br][math]f'\left(x\right)=2a\cdot x+b[/math][br]Die Steigung der Sekante zwischen x[sub]1[/sub] und x[sub]2[/sub] ist gleich der Steigung der Tangente bei [math]\frac{x_1+x_2}{2}[/math].[br][math]k_s=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{\left(a\cdot x_2^2+b\cdot x_2+c\right)-\left(a\cdot x_1^2+b\cdot x_1+c\right)}{x_2-x_1}=\frac{a\cdot\left(x_2^2-x_1^2\right)+b\cdot\left(x_2-x_1\right)}{x_2-x_1}=a\cdot\left(x_2+x_1\right)+b[/math][br][math]k_t=f'\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)=2a\cdot\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)+b=a\cdot\left(x_1+x_2\right)+b[/math]