Flächenverwandlungen und Scherung
Table of Contents
- Flächengleiche Figuren
- Flächengleiche Figuren
- Scherung als flächengleiche Abbildung
- Scherung
- Flächengleiche Figuren: Trapez
- Parallelogramm
- Dreieck
- Anwendung bei Flächenverwandlungen
- Anwendung der Scherung bei Flächenverwandlungen 2
- Anwendung der Scherung bei Flächenverwandlungen 3
- Anwendung der Scherung bei Flächenverwandlungen 1
- Anwendung der Scherung bei Flächenverwandlungen 4
- Ergänzungsparallelogramm
- Ergänzungsparallelogramme 1
- Ergänzungsparallelogramme 2
- Ergänzungsparallelogramme 3
- Einfache Flächenteilung
- Einfache Flächenteilungen
- Einfache Flächeneinteilung
- Einfache Flächenteilungen
- Einfache Flächenteilung
- Aufgaben
- Beispiel 5 (S.68)
- Beispiel 6 (S.69)
- Aufgabe 1, S. 74
- Aufgabe 2, S. 74
- Aufgabe 3, S. 74
- Aufgabe 4, S.174
- Aufgabe 5, S. 74
- Aufgabe 6, S. 74
- Aufgabe 7, S. 74
- Aufgabe 10a, S. 74
- Aufgabe 10b, S. 74
- Aufgabe 10c, S. 74
- Aufgabe 10d, S. 74
- Aufgabe 12a
- Aufgabe 12b
- Aufgabe 12c
- Aufgabe 3, S. 75
- Aufgabe 4 S. 74
- Aufgabe 8, S. 75
Flächengleiche Figuren
Scherung
Eine Scherung ist bestimmt durch Angabe der Scherungsachse s und des gerichteten Winkels , der Scherungswinkel genannt wird. Man kann eine Scherung auch festlegen durch die Angabe der Scherungsachse und eines Punkt-Bildpunkt-paares ausserhalb der Achse, z. B. C, C'.
Jede Scherung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst
Anwendung der Scherung bei Flächenverwandlungen 2
Beispiel 2: Verwandle ein Parallelogramm ABCD mit a=7, b=3, α=45° unter Beibehaltung der Seite a in ein Parallelogramm mit der Diagonale e'=6
Ergänzungsparallelogramme 1
Definition
Zieht man durch einen beliebigen Punkt einer Diagonalen eine Parallelogramms die Parallelen zu den Seiten, so nennt man die [color=#3c78d8]Teilparallelogramme[/color], die von der Diagonalen nicht geschnitten werden, [color=#3d85c6][color=#3c78d8]Ergänzungsparallelogramme[/color].[/color]
Satz
Ergänzungsparallelogramme, sind [color=#3c78d8]Flächengleich[/color].
Beweis
Vor: Viereck ABCD ist ein Parallelogramm EF [math]\parallel[/math]AB; GH [math]\parallel[/math] BC[math]\mid\in[/math] AC[br]Behauptung: A# GBFI = A # EIHD[br]Beweis: A [math]\bigtriangleup[/math]ABC = A [math]\bigtriangleup[/math]ACD ( Eine Diagonale teilt das # in zwei kongruente Dreiecke)[br] - A[math]\bigtriangleup[/math] AGI = A[math]\bigtriangleup[/math] AIE[br] [u]- A[math]\bigtriangleup[/math][/u][u] IFC = A[/u][u] [math]\bigtriangleup[/math]ICH[/u] [br] A # GBFI = A # EIHD [br] ==============
Einfache Flächenteilungen
4. Beispiel
Ein Rhombus ABCD mit der Seite a= 4 cm und dem Winkel [math]\alpha[/math]= 60° soll durch Geraden, die von der Ecke A ausgehen,[br][br]a) in vier gleiche Teile,[br]b) in fünf gleiche Teile[br]zerlegt werden.[br][br]Lösung:
a)
b)
Beispiel 5 (S.68)
Verwandle ein gegebenes Dreieck ABC unter Beibehaltung des Winkels [math]\beta[/math] in ein Dreieck mit grösserer (kleinerer) Grundlinie![br][br]Lösung: Die Grundlinie wird vergrössert.[br][br]Lösungsbericht:[br] AC'C [math]\Rightarrow[/math] AC'A'[br]ABC = ABC' + AC'C[br]A'BC' = ABC' + AC'A'[br]Weil: AC'C = AC'A ist, [br]gilt: ABC = A'BC' [br][br]Lösung: Die Grundlinie wird verkleinert.[br]ABC = A'BC' [br]Beweis wie oben!