FRACTAIS
A palabra fractal, referida a conxuntos matemáticos, apareceu por primeira vez no ano 1977 cando Benoit Mandelbrot a empregou para referirse a certos conxuntos con todas ou algunhas das seguintes propiedades: Teñen detalles a todas as escalas, entendendo por isto que mirados a calquera nivel de escala (zoom) manifestan detalles xa observados a nivel global. Son autosemellantes, é dicir, que están formados por partes que son semellantes ao conxunto total. Teñen una descrición algorítmica simple, entendendo por elo que a súa construción está basada nun algoritmo sinxelo. O obxectivo das seguintes follas de traballo é familiarizar aos alumnos de secundaria cos conxuntos fractais.
Table of Contents
- A curva de Koch.
- Curva de Koch.
- Triángulo de Sierpinski.
- Triángulo de Sierpinski.
- Alfombra de Sierpinski.
- Alfombra de SierpinsKi.
- Alfombra de Sierpinski.
- Árbores fractais.
- Árbore de Pitágoras.
- Árbore fractal.
Curva de Koch.
[size=150]Partimos dun segmento de lonxitude 1. [br][br]O primeiro paso consiste en dividilo en tres intervalos iguais, construír un triángulo equilátero sobre o intervalo central e suprimir a base de dito triángulo.[br][br]O segundo paso da construción consiste en repetir o primeiro paso sobre cada un dos catro intervalos resultantes. [br][br]O proceso repítese infinitas veces.A curva de Koch é a curva á que se van aproximando as sucesivas poligonais que resultan en cada paso.[br][br]No primeiro paso obtemos 4 segmentos, a lonxitude de cada segmento é 1/3 e a lonxitude total é 4/3 .[br][/size][br][size=150]No segundo paso obtemos [/size] [math]4\times4=16[/math] [size=150]segmentos, a lonxitude de cada segmento é[/size] [math]\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}[/math] [size=150] e a lonxitude total [/size] [math]16\times\frac{1}{9}=\frac{16}{9}[/math][br][br][size=150]1. Calcula a lonxitude total da curva de Koch no terceiro e cuarto paso.[br][br]2. Cal sería a lonxitude total da curva no paso n ?[br][br]3. Que pasará coa lonxitude total se repetimos o proceso indefinidamente?[/size]
Triángulo de Sierpinski.
[size=150][justify]Partimos dun triángulo equilátero de lado 1. [br][br]O primeiro paso consiste en dividilo en catro triángulos equiláteros iguais e eliminar o triángulo central, é dicir quedámonos cos tres triángulos equiláteros dos vértices. [br][br]O segundo paso da construción consiste en repetir o primeiro paso sobre cada un dos tres triángulos obtidos no paso anterior. [br][br]Se repetimos infinitamente o proceso obtemos unha figura fractal denominada triángulo de Sierpinski. [br][br]Na construción podemos observar seis iteracións sucesivas.[/justify]Na primeira iteración obtemos 3 triángulos equiláteros de lado 1/2, o perímetro total é[/size] [math]3\times\frac{3}{2}=\frac{9}{2}[/math] [size=150]e a área total é 3/4 da área inicial, Área inicial=[/size][math]\frac{\sqrt{3}}{4}[/math] , [size=150]polo que a área total é[/size] [math]\frac{3}{4}\times\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{16}[/math][br][br][size=150]1. Cubre a folla de cálculo, lembra que para escribir nunha celda[/size] [math]\sqrt{3}[/math] [size=150]tes que poñer sqrt(3)[/size][br][br][size=150]2. Xeneraliza para o paso n.[br][br]3. Que pasará co perímetro total e coa área total se repetimos o proceso indefinidamente?[/size]
Alfombra de SierpinsKi.
[size=150][justify]O proceso de elaboración da alfombra de Sierpinski é moi semellante ao do seu triángulo . Dividimos un cadrado de lado unidade inicial en nove cadrados idénticos e eliminamos o central. Repetimos o proceso en cada iteración. [br][br]Realiza a construción da alfombra de Sierpinski, con tres iteracións, coa ferramenta facilitada. Previamente crea un esvarador que permita amosar as distintas iteracións.[/justify][/size]
Árbore de Pitágoras.
[justify][size=150]Foi construída por primeira vez polo profesor de matemáticas [i]Albert E. Bosman[/i] (1891-1961),[br]en Holanda no 1942.[br][br]Partimos dun cadrado, sobre un dos seus lados construímos un triángulo rectángulo e sobre cada un dos catetos deste construímos un cadrado, de lado igual á lonxitude do cateto correspondente.[br][br]Sobre os dous cadrados construídos, no primeiro paso, repetimos o mesmo procedemento. [br]E así sucesivamente.[br][br]Que condición ten que cumprir o triángulo rectángulo para que a arbore de Pitágoras obtida estea centrada?[br][/size][/justify]