[b]Definition[/b][br]Sei f eine Funktion [math]f: \, ]a; b[ \rightarrow\mathbb{R}[/math].[br]Dann heißt [b]f[/b] an einer Stelle [math]x_0\in]a; b[[/math] [b]differenzierbar[/b], wenn der Grenzwert [br] [math] \lim_{h\to 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h} \qquad[br]\left(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f\left(x_0+ \Delta x \right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} = [br]\lim_{x \to x_0} \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\right)[/math][br]existiert.[br][br]In dem Applet ist der Graph der Funktion f: R → R; f(x) = 0,1·x² + 1 dargestellt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Verändere mithilfe des Schiebereglers für Δx den Abstand zwischen den Punkten A und B.[/*][*]Notiere für Δx = 3,5 ; 3,0 ; 2,5; 2,0; 1,5; 1,2 und 1,1 die Steigung k der Sekanten durch die Punkte A und B. [br][/*][*]Welche Steigung k der Tangente im Punkt A lässt sich als Grenzwert der Sekantensteigungen vermuten?[/*][*]Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion f(x) = 0.1·x² durch.[/*][/list]

Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt kannst du erarbeiten, wie man mit Hilfe des Differenzenqoutienten die Steigung eines Funktionsgraphen an einer Stelle [math]x_0[/math] bestimmt.

[list=1][br][*] Lege die Stelle [math]x_0[/math], an der die Steigung des Graphen bestimmt werden soll, durch Verschieben des Punktes A fest.[br][*] Da nicht klar ist, wie man die Steigung an einer einzelnen Stelle bestimmen soll, versuchen wir dieses Problem zurückzuführen auf die Bestimmung einer durchschnittlichen Steigung in einem Intervall. [br]Die eine Intervallgrenze ist das eben eingestellte [math]x_0[/math]. Die andere Grenze x kann mit Hilfe des Punktes B festgelegt werden. Jetzt haben wir ein Intervall [[math]x_0[/math]; x], gekennzeichnet durch die blauen gestrichelten Linien.[br][*] Nun legen wir eine Gerade durch A und B (eine sogenannte Sekante), deren Steigung wir mit den grünen Linien (Steigungsdreieck) leicht bestimmen können. Aktiviere das Kontrollkästchen "Sekante einblenden"![br]Die so berechnete Steigung ist die durchschnittliche Steigung des Funktionsgraphen auf dem Intervall [[math]x_0[/math]; x].[br]Der Bruch [math]\frac{Δy}{Δx}[/math], mit dem sie berechnet wird, heißt übrigens Differenzenquotient.[br][*] Wenn du nun den Punkt B immer näher an A heranbewegst (damit also das Intervall immer schmaler machst), so erhältst du immer bessere Näherungswerte für die Steigung an der Stelle [math]x_0[/math] selbst.[br]Was passiert mit dem Differenzenquotienten[math]\frac{Δy}{Δx}[/math], wenn du mit A genau auf B fährst? Kann man dann überhaupt noch einen Wert ausrechnen?[br][*] Halten wir abschließend fest:[br]Bei Annäherung von x gegen [math]x_0[/math] nähert sich die Sekante einer Tangente an (Die kannst du dir mit dem zweiten Kontrollkästchen auch noch einzeichnen lassen.) Die Steigung dieser Tangente ist die Steigung der Kurve an der Stelle [math]x_0[/math].[br]Das heißt, wir erhalten die Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle [math]x_0[/math] zunächst nicht als direkt berechenbaren Wert sondern lediglich als Grenzwert einer Folge von Sekantensteigungen.[br]Die nächste Aufgabe wird nun sein, dieses anschauliche Verfahren auch rechnerisch in den Griff zu bekommen.[br][/list]