Eine Milchpackung soll optimiert werden.[br]Die Milchpackung soll 1 Liter Milch [math](=1000cm^3)[/math] enthalten.[br]Außerdem wird festgelegt, dass für die Seiten [math]a[/math] und [math]b[/math] der Grundfläche gelten soll: [br][math]a=2\cdot b[/math][br][br]Bestimmen Sie die Maße der Milchpackung mit minimalem Flächeninhalt der Oberfläche.[br][br]Sie können zunächst mit dem Schieberegler die Länge der Seite a variieren und so einstellen, dass der Wert für O minimal wird.[br]Anschließend versuchen Sie durch Rechnung das Ergebnis zu bestätigen.

[math]V=a\cdot b\cdot c[/math] (I)[br][math]O=2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c[/math] (II)[br][math]a=2\cdot b[/math] (III)[br][br]Mithilfe der Gleichung (III) kann man a in den Gleichungen (I) und (II) ersetzen[br][math]V=2\cdot b\cdot b\cdot c=2\cdot b^2\cdot c[/math] (IV)[br][math]O=2\cdot2\cdot b\cdot b+2\cdot2\cdot b\cdot c+2\cdot b\cdot c=4\cdot b^2+4\cdot b\cdot c+2\cdot b\cdot c=4\cdot b^2+6\cdot b\cdot c[/math] (V)[br][br]In Gleichung (IV) kann man [math]V=1000[/math] verwenden und nach c auflösen:[br][br][math]c=\frac{1000}{2\cdot b^2}[/math][br][br]Setzt man das nun in (V) ein, so erhält man die Formel für den Flächeninhalt der Oberfläche:[br][br][math]O=4\cdot b^2+6\cdot b\cdot\frac{1000}{2\cdot b^2}[/math][math]=4\cdot b^2+\frac{3000}{b}[/math][br][br]Der Flächeninhalt der Oberfläche ist jetzt nur noch von [math]b[/math] abhängig.[br][br][math]O(b)=4b^2+\frac{3000}{b}[/math][br][br]Die notwendige Bedingung für ein lokales Minimum ist[br][math]O'(b)=0[/math][br][math]\frac{8b^3-3000}{b^2}=0[/math][br][math]b=5\sqrt[3]{3}[/math][math]\approx[/math][math]7,2112[/math][br][br]Vorzeichenwechselkriterium[br][math]O'(7)\approx-5.224489795918<0[/math][br][math]O'(8)\approx17.125>0[/math][br][br]An der Stelle [math]b=5\sqrt[3]{3}[/math] besitzt die Funktion O ein lokales Minimum[br][br]Für [math]b\rightarrow\infty[/math] und für [math]b\rightarrow0[/math] strebt die Funktion O gegen Unendlich. Damit ist der Funktionswert [math]O\left(5\sqrt[3]{3}\right)=300\sqrt[3]{3}^2\approx\text{624.0251469156}[/math][br]Das globale Minimum.[br][math]a=2\cdot b|b=5\sqrt[3]{3}[/math][br][math]a=10\sqrt[3]{3}[/math][br][math]c=\frac{500}{b^2}|b=5\sqrt[3]{3}[/math][br][math]c=\frac{20}{3}\sqrt[3]{3}[/math]