Wir wissen von ganzrationalen Funktionen bereits, dass für [math]x\rightarrow\pm\infty[/math] der Summand mit dem höchsten Exponenten das Verhalten dominiert und es daher genügt, ihn allein zu betrachten.[br][br]Wem das nicht mehr klar ist, der kann [url=https://www.geogebra.org/m/CpwwCp2k]hier klicken[/url], um es zu wiederholen.[br][br]Dasselbe Prinzip machen wir uns auch bei gebrochen-rationalen Funktionen zunutze, wenden es dabei aber auf Zähler und Nenner getrennt an. Dabei können grundsätzlich drei verschiedene Fälle vorkommen:[br][br][b][br][br][br]1. Fall:[/b] Zählergrad > Nennergrad[br][br][u]Beispiel:[/u] [math]f\left(x\right)=\frac{2x^3-5x+1}{x^2-3x}[/math]; [math]lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^3-5x+1}{x^2-3x}=lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^3}{x^2}[/math], [size=85]denn im Zähler und Nenner [br] dominieren jeweils die Summanden mit dem höchsten Exponenten das Verhalten im Unendlichen.[/size][br] [math]lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^3}{x^2}=lim_{x\rightarrow+\infty}2x=\pm\infty[/math] [size=85](im vorletzten Schritt wurde gekürzt)[/size][br]

[b][br][br][br]2. Fall:[/b] Zählergrad = Nennergrad[br][br][u]Beispiel:[/u] [math]f\left(x\right)=\frac{-2x^3+12x^2-1}{4x^3+2x^2-5x}[/math]; [math]lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{-2x^3+12x^2-1}{4x^3+2x^2-5x}=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{-2x^3}{4x^3}=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}[/math][br][size=85] D.h. im Unendlichen (ganz links bzw. ganz rechts) nähert sich der Graph dem Wert[color=#ff0000] y = -1/2[/color]. Der Graph hat also [br] eine [color=#ff0000]waagerechte Asymptote[/color]. Waagerechte Asymptoten kommen bei ganzrationalen Funktionen nicht vor, sind also[br] etwas Neues.[/size]

[b][br][br][br]3. Fall:[/b] Zählergrad < Nennergrad[br][br][u]Beispiel:[/u] [math]f\left(x\right)=\frac{3x-4}{x^2-2x+7}[/math]; [math]lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{3x-4}{x^2-2x+7}=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{3x}{x^2}=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{3}{x}=\pm0=0[/math][br][size=85] D.h. im Unendlichen (ganz links bzw. ganz rechts) nähert sich der Graph der x-Achse ([color=#ff0000]y = 0[/color]), die damit eine [br] [color=#ff0000]waagerechte Asymptote[/color] ist. Das [math]\pm[/math] [/size][size=85]lässt erkennen, dass der Graph sich [color=#ff0000]rechts von oben[/color] und [color=#ff0000]links von unten[/color] der x- [br] Achse nähert.[/size]

Sie können nun überprüfen, ob Sie es verstanden haben, indem Sie folgendes Aufgabenblatt bearbeiten.