[b]Primo Teorema di Euclide[/b]: "[i]Il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa[/i] [b]Passo 1[/b]: Sia [math]ABC[/math] un triangolo rettangolo in [math]A[/math]. [b]Passo 2[/b]: Sia [math]ABED[/math] un quadrato avente il cateto [math]\overline{AB}[/math] come lato. [b]Passo 3[/b]: Traccia il prolungamento di [math]\overline{ED}[/math] dalla parte di [math]D[/math] e la retta contenente l'altezza [math]\overline{AH}[/math] relativa all'ipotenusa e sia [math]G[/math] il loro punto di intersezione. [b]Passo 4[/b]: Il triangolo [math]AHC[/math] è rettangolo in [math]H[/math] per costruzione [math] \Rightarrow C \hat A H \cong A \hat B C[/math] perchè entrambi complementari a [math]\hat C[/math] . [b]Passo 5[/b]: [math]D \hat A G \cong C \hat A H[/math] perché opposti al vertice [math] \Rightarrow D \hat A G \cong A \hat B C[/math]. [b]Passo 6[/b] : Il triangolo [math]DAG[/math] è congruente ad [math]ABC[/math] per il II criterio, infatti è rettangolo per costruzione, ha [math]\overline{AD} \cong \overline{AB}[/math] sempre per costruzione e come conseguenza del passo precedente. [b]Passo 7[/b] : Quindi [math]\overline{AG} \cong \overline{BC}[/math]. [b]Passo 8[/b] : Traccia la retta passante per [math]B[/math] e parallela all'altezza e sia [math]I[/math] il punto in cui interseca [math]\overline{DG}[/math]. Si ottiene il parallelogramma [math]ABIG[/math] che è equivalente al quadrato perchè hanno la stessa base [math]\overline{AB}[/math] e la stessa altezza [math]\overline{AD}[/math]. [b]Passo 9[/b] : Sia [math]J[/math] appartenente alla retta [math]IB[/math] e tale che [math]\overline{BJ} \cong \overline{AG} \cong \overline{BC} [/math]. [b]Passo 10[/b] : Detta [math]K[/math] la proiezione di [math]J[/math] sulla retta [math]AH[/math], il rettangolo [math]BHKJ[/math] è equivalente al parallelogramma [math]ABIG[/math] perché hanno la stessa base [math]\overline{IB} \cong \overline{AG} \cong \overline{BJ} [/math] e la stessa altezza [math]\overline{BH}[/math], proiezione di [math]\overline{AB}[/math] sull'ipotenusa. Per la proprietà transitiva il rettangolo è equivalente al quadrato c.v.d.