Abbiamo definito la derivata come limite per [math]\Large{h \to 0}[/math] del rapporto incrementale:[br][br][center][math]\Large{f'(x_0)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}[/math][/center]In questo capitolo ci poniamo il problema del caso in cui questo limite NON esiste, ovvero i punti [math]\Large{x_0}[/math] in cui NON riusciamo a calcolare il limite, e quindi in cui la derivata NON esiste. Tali punti si dicono [b]punti di non derivabilità[/b].[br][br]Nella seguente animazione ricapitoliamo il concetto di derivata e vediamo i vari casi di non derivabilità. Il primo obiettivo è quello di approfondire il concetto di derivata e verificarne la nostra comprensione; vedremo in seguito che queste considerazioni hanno anche un'utilità pratica.

[b]Riassumiamo quanto visto finora:[br][/b][br]1) Una funzione [math]\large{y=f(x)}[/math] si dice [b][color=#0000ff]derivabile in un punto[/color] [math]\large{\textcolor{blue}{x_0}}[/math] [/b]se il risultato della sua funzione derivata è definito nel punto [math]\large{x_0}[/math] ed assume un valore FINITO (cioè [u]non[/u] [math]\large{\pm \infty}[/math]).[br][br]Possiamo verificare che una funzione [color=#ff0000]NON è derivabile[/color] in due modi: [br][list][*]osservando che [color=#6aa84f]il punto [math]\large{\textcolor{#009900}{x_0}}[/math] NON appartiene al dominio [b]della sua derivat[/b][/color][color=#93c47d][b]a[/b][/color] (ma deve appartenere al dominio [b]della funzione[/b]: se la funzione non esiste non ha neppure senso chiedersi di quanto è inclinata o con quale velocità sta aumentando o diminuendo). La derivata della funzione non esiste quindi in [math]\large{x= x_0}[/math], che è quindi un punto di non derivabilità. [color=#93c47d]Per capire di quale tipo di punto si tratti studiamo il limite per [math]\large{x\to x_0^\pm}[/math] della [b]derivata[/b][/color].[br][br][/*][*]nel caso [b]il limite del rapporto incrementale della funzione[/b] (che è la derivata) non sia definito in quel punto, ad esempio perché [color=#ff0000]il suo limite sinistro ([math]\large{h \to 0^+}[/math], cioè l'incremento su cui calcolo la velocità media è positivo e disegnato alla sinistra del punto)[/color] e quello [color=#ff7700]destro ([math]\large{h \to 0^-}[/math], incremento negativo e disegnato alla destra del punto)[/color] non coincidono.[br][/*][/list][br]Abbiamo definito [color=#0000ff][b]tre tipologie di punti di non derivabilità[/b][/color][br][list=1][*]Se la derivata non esiste in [math]\large{x_0}[/math], ed il suo limite sia destro che sinistro per [math]\large{x \to x_0}[/math] tende a [math]\large{+ \infty}[/math] oppure a [math]\large{- \infty}[/math] abbiamo un punto di [b]flesso verticale[/b].[/*][br][*]Se la derivata non esiste in [math]\large{x_0}[/math], ed i suoi limiti destro e sinistro per [math]\large{x \to x_0}[/math] tendono uno a [math]\large{+ \infty}[/math] e l'altro a [math]\large{- \infty}[/math] abbiamo un punto di [b]cuspide[/b].[/*][br][*]Se il limite destro e sinistro della derivata, cioè del rapporto incrementale hanno due valori FINITI ma differenti tra loro abbiamo un punto a cui la funzione "giunge" da sinistra con una certa inclinazione e "riparte" verso destra con un'inclinazione [b]diversa[/b]: non è possibile definire quindi LA inclinazione in quel punto (la derivata non esiste) ed abbiamo un punto [b]angoloso[/b].[/*][/list][br]Notiamo inoltre (ma capiremo meglio questa osservazione DOPO che avremo capito come utilizzare la derivata per capire come è fatta una funzione) che [b][color=#ff0000]i punti di non derivabilità [i]possono[/i] essere degli estremi relativi (cioè punti di massimo o minimo relativo) della funzione, e quindi vanno considerati con attenzione quando cerchiamo tali punti durante lo studio di funzione[/color][/b]. Riconsiderando gli esempi presentati sopra si vede che i punti di flesso [i]non[/i] sono degli estremi relativi, mentre le cuspidi sì. [br][br]I punti angolosi [i]possono[/i] essere degli estremi relativi, ma non lo sono necessariamente. Approfondiamo questo tipo di punti di non derivabilità nell'animazione qui sotto.[br]

Nella funzione in esempio, i punti angolosi erano punti di estremi relativi della funzione. Nella figura sotto puoi vedere però che un punto angoloso non è necessariamente anche un punto di estremo relativo, e quindi va valutato caso per caso.