Abbiamo definito la derivata come limite per del rapporto incrementale:



In questo capitolo ci poniamo il problema del caso in cui questo limite NON esiste, ovvero i punti in cui NON riusciamo a calcolare il limite, e quindi in cui la derivata NON esiste. Tali punti si dicono punti di non derivabilità. Nella seguente animazione ricapitoliamo il concetto di derivata e vediamo i vari casi di non derivabilità. Il primo obiettivo è quello di approfondire il concetto di derivata e verificarne la nostra comprensione; vedremo in seguito che queste considerazioni hanno anche un'utilità pratica.

Riassumiamo quanto visto finora: 1) Una funzione si dice derivabile in un punto se il risultato della sua funzione derivata è definito nel punto ed assume un valore FINITO (cioè non ). Possiamo verificare che una funzione NON è derivabile in due modi:

• osservando che il punto NON appartiene al dominio della sua derivata (ma deve appartenere al dominio della funzione: se la funzione non esiste non ha neppure senso chiedersi di quanto è inclinata o con quale velocità sta aumentando o diminuendo). La derivata della funzione non esiste quindi in , che è quindi un punto di non derivabilità. Per capire di quale tipo di punto si tratti studiamo il limite per della derivata.
• nel caso il limite del rapporto incrementale della funzione (che è la derivata) non sia definito in quel punto, ad esempio perché il suo limite sinistro (, cioè l'incremento su cui calcolo la velocità media è positivo e disegnato alla sinistra del punto) e quello destro (, incremento negativo e disegnato alla destra del punto) non coincidono.

Abbiamo definito tre tipologie di punti di non derivabilità

1. Se la derivata non esiste in , ed il suo limite sia destro che sinistro per tende a oppure a abbiamo un punto di flesso verticale.
2. Se la derivata non esiste in , ed i suoi limiti destro e sinistro per tendono uno a e l'altro a abbiamo un punto di cuspide.
3. Se il limite destro e sinistro della derivata, cioè del rapporto incrementale hanno due valori FINITI ma differenti tra loro abbiamo un punto a cui la funzione "giunge" da sinistra con una certa inclinazione e "riparte" verso destra con un'inclinazione diversa: non è possibile definire quindi LA inclinazione in quel punto (la derivata non esiste) ed abbiamo un punto angoloso.

Notiamo inoltre (ma capiremo meglio questa osservazione DOPO che avremo capito come utilizzare la derivata per capire come è fatta una funzione) che i punti di non derivabilità possono essere degli estremi relativi (cioè punti di massimo o minimo relativo) della funzione, e quindi vanno considerati con attenzione quando cerchiamo tali punti durante lo studio di funzione. Riconsiderando gli esempi presentati sopra si vede che i punti di flesso non sono degli estremi relativi, mentre le cuspidi sì. I punti angolosi possono essere degli estremi relativi, ma non lo sono necessariamente. Approfondiamo questo tipo di punti di non derivabilità nell'animazione qui sotto.

Nella funzione in esempio, i punti angolosi erano punti di estremi relativi della funzione. Nella figura sotto puoi vedere però che un punto angoloso non è necessariamente anche un punto di estremo relativo, e quindi va valutato caso per caso.