Darstellende Geometrie
Table of Contents
- Grundlagen
- Wahre Länge
- Wahre Länge einer Strecke
- Drehung im Raum
- Drehung im Raum
- Parallelprojektion
- Parallelprojektion eine Würfels
- Parallelprojektion eines Kegels
- Der Schatten einer Kugel - Parallelprojektion
- Rotierender Würfel
- Zentralprojektion
- Zentralprojektion eines Würfels - Perspektive 1
- Zentralprojektion eines Würfels - Perspektive 2
- Der Schatten einer Kugel - Zentralprojektion
- Kreisdarstellungen
- Das Bild eines Kreises
- Kegelschnitte
- Dandelin'sche Kugeln
- Ebener Schnitt eines Zylinders
- Kugel
- Flugrouten von Linz in die Welt
- Kürzeste Flugroute
- Die Loxodrome
- Die Loxodrome (Animation)
- Tangentialebene an drei Kugeln
- Durchdringungen
- Schnitt von zwei Zylindern
- Kurven und Flächen
- Spirallinie - 3D
- Splines im Raum
- Bezier-Kurve im R³
- Rohrschraubfläche
- Torus
- Torus (als Spur eines Kreises)
- Die Motten und die Lampe
- Der Flug einer Motte
- Tangentialebene an eine Fläche (Animation)
- Elliptischer Doppelkegel und Zylinder
- Draw all quadrics
- Quadriken
- Erzeugung eines Hyperboloids
- Wendelfläche (Helikoid)
- Henneberg-Fläche
- Buccoli
- Spiralförmige Wendelfläche
- Abrollendes Ellipsoid
- Spiralfläche
- Rollendes Rad - Kurven im R³
- Anwendungen
- Schatten eines Hauses
- Drahtmodell
Wahre Länge
Veranschaulichung der wahren Länge einer Strecke s.
Andreas Lindner
Parallelprojektion eine Würfels
[b]Aufgabe[/b][br]Verändere deine Position mit der rechten Maustaste und betrachte die Konstruktion aus verschiedenen Blickwinkeln.[br][list][br][*]Betrachte die Parallelprojektion aus verschiedenen Blickrichtungen (rechte Maustaste).[br][*]Betrachte die Projektion in einer Frontalansicht (letztes Symbol in der letzten Symbolgruppe) normal zur Bildebene.[br][*]Verändere durch Bewegen des [color=#1551b5]Punktes A[/color] die Lage des Würfels. Beschreibe, ob bzw. wie sich dabei das Bild des Würfels verändert.[br][*]Verändere mit den Schiebereglern die Lage der Bildebene.[br][*]Stelle mit den Schiebereglern die Bildebene parallel zur xy-, zur xz- und yz-Ebene ein.[br][/list]
Andreas Lindner
Zentralprojektion eines Würfels - Perspektive 1
Das Applet zeigt eine Zentralprojektion mit horizontaler Bildebene.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere deine Position mit der rechten Maustaste und betrachte die Konstruktion aus verschiedenen Blickwinkeln.[br][list][br][*]Verändere deine Position mit der rechten Maustaste und betrachte die Konstruktion aus verschiedenen Blickwinkeln.[br][*]Verändere die Position des [color=#1551b5]Projektionszentrums O[/color] horizontal und vertikal.[br][*]Blende die Horizontalebene und die Hilfslinien ein.[br][*]Vergrößere oder verkleinere den Würfel durch Verschieben des Punktes B.[br][*]Wähle im Menü die Ansicht [i]Aufriss[/i].[br][*]Die Lage der Bildebene kann durch Verschieben des Punktes P verändert werden.[br][/list]
Das Bild eines Kreises
[b]Aufgabe[/b][br]Verändere deine Position mit der rechten Maustaste und betrachte die Konstruktion aus verschiedenen Blickwinkeln.[br][list][br][*]Verändere die Lage der Punkte R,S, P und M.[br][/list]
Andreas Lindner
Dandelin'sche Kugeln
Schnitt Ebene - Kegel: Beweis mithilfe der Dandelin'schen Kugeln[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verschiebe den gelben Punkt auf der Erzeugenden im oberen Teil des Doppelkegels, um den Kegel zu verändern, und den roten Punkt in der blauen Ebene, um die Lage dieser Ebene zu verändern.[br]Verschiebe anschließend den blauen Punkt auf dem unteren Kreis.
Flugrouten von Linz in die Welt
[b]Aufgabe[/b][br]Linz liegt auf 14,28° östlicher Länge und 48,30° nördlicher Breite. Als Destination ist New York (74,00° w.L., 40,72° n. Br.) eingezeichnet.[br]Recherchiere die geographischen Koordinaten von Sidney (Australien) und Rio de Janeiro (Brasilien) und stelle die Flugroute von Linz zu diesen Destinationen dar.[br][br][i]Zusatzaufgabe[/i][br]a) Berechne die Entfernung von Linz nach New York.[br]Hinweis: [math]d = \frac{2r·\pi·\varphi}{360}[/math][br]Nimm als Erdradius einen Wert von r ≈ 6370 km an.[br][br]b) In welche Himmelsrichtung startet die Maschine von Linz aus? [br]Blende die Richtung des Starts ein und lies den Winkel zur Nordrichtung ab.[br]Bewege das Flugzeug (Punkt F in Linz) entlang der Flugroute und beobachte, wie sich der Winkel verändert.[br]Was passiert, wenn immer derselbe Winkel zur Nordrichtung eingehalten wird?
Andreas Lindner
Schnitt von zwei Zylindern
[b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Radien der beiden Zylinder.
[b]Zur Herleitung der Gleichung der Schnittkurve[/b][br][br]Für den [b][color=#888]grauen Zylinder[/color][/b] mit dem Radius [math]r_1[/math] ist die y-Achse die Rotationsachse.[br]Er kann durch die Gleichung [math]x^2 + z^2 = r_1^2[/math] oder in Parameterform als [math]z_{1} = \left( \begin{array} \, r_{1} \cdot \cos(u) \\w \\r_{1} \cdot sin(u) \end{array} \right)[/math] beschrieben werden. [br]Der Befehl zur Darstellung als Fläche lautet in GeoGebra: [math]z_1 = Oberfläche[r_{1} \cdot cos(u), w, r_{1} \cdot sin(u), u, 0, 6.28319, w, -4, 4][/math][br][br][br]Für den [b][color=#0a971e]grünen Zylinder[/color][/b] mit dem Radius [math]r_2[/math] ist die z-Achse die Rotationsachse.[br]Er kann durch die Gleichung [math]x^2 + y^2 = r_2^2[/math] oder in Parameterform als [math]z_{2} = \left( \begin{array} \, r_{2} \cdot \cos(u) \\r_{2} \cdot sin(u) \\w \end{array}\right)[/math] beschrieben werden. [br]Der Befehl zur Darstellung als Fläche lautet in GeoGebra: [math]z_2 = Oberfläche[r_{2} \cdot cos(u), r_{2} \cdot sin(u), w, u, 0, 6.28319, w, -4, 4][/math][br][br]Wenn man die einzelnen Komponenten der Parameterdarstellung von [math]z_2[/math] in die Gleichung für [math]z_1[/math] einsetzt, ergibt sich:[br][math](r_2 \cdot cos(u))^2 + w^2 = r_1^2[/math][br]und daraus[br][math]w = \pm \sqrt{r_1^2 - r_2^2 \cdot cos(u)^2}[/math][br][br]Die Gleichung der Schnittkurve lautet deshalb in Parameterform: [math]k = \left( \begin{array} \, r_{2} \cdot \cos(u) \\r_{2} \cdot sin(u) \\\pm \sqrt{r_{1}^2 - r_{2}^2 \cdot cos(u)^2} \end{array} \right)[/math][br]Der entsprechende Befehl (für den oberen Teil der Kurve) lautet in GeoGebra: [math]Kurve[r_{2} \cdot cos(u), r_{2} \cdot sin(u), sqrt(r_{1}² - r_{2}² \cdot cos(u)²), u, 0, 6.28319][/math][br][br][i]Literatur[br]Georg Glaeser: Der mathematische Werkzeugkasten. Anwendungen in Natur und Technik. München 2006[/i]
Spirallinie - 3D
Verändere den Radius r und die Ganghöhe h.
Schatten eines Hauses
Aufgabe
[table][tr][td][list][*]Verändere die Position der Sonne auf ihrem Weg von Osten nach Westen.[br][/*][*]Schalte die Animation für den Lauf der Sonne ein.[br][/*][*]Verändere das Datum und beobachte den Schatten im Lauf eines Jahres.[br][/*][*]Wann ist Wintersonnenwende?[br][/*][*]Blende die Ekliptik mit der Himmelskugel ein.[/*][/list][/td][/tr][/table]
Wie verändert sich der Schatten eines Hauses am Nordpol im Laufe des 21. Juni?
Versuche mithilfe des Applets zu beantworten