Pour certaines valeurs de l'angle au sommet ( [math]\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{5},\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{9}[/math]...),[br]un triangle isocèle peut être découpé en triangles isocèles plus petits.

Ce découpage permet de trouver des égalités non évidentes entre cosinus. [br][br]Par exemple, dans le [u]grand triangle isocèle d'angle [math]\frac{\pi}{9}[/math][/u] : [br][br] [b]Longueur du côté gauche[/b] = [b] Longueur du côté droit[/b] [br] d'où : 2[math]\times[/math]cos[math]\frac{\pi}{9}[/math] + 2[math]\times[/math]cos[math]\frac{3\pi}{9}[/math] = 1 + 2[math]\times[/math]cos[math]\frac{2\pi}{9}[/math] + 2[math]\times[/math]cos[math]\frac{4\pi}{9}[/math][br] [br][br]Ou encore, dans le [u]grand triangle isocèle d'angle[/u][math]\frac{\pi}{5}[/math] :[br][br] [b]Lo[/b][b]ngueur du côté gauche[/b] = [b]Longueur du côté droit[/b][br] d'où : 2[math]\times[/math]cos[math]\frac{\pi}{5}[/math] = 1 + 2[math]\times[/math]cos[math]\frac{2\pi}{5}[/math][br] = 1 + 2[math]\times[/math]( 2 cos²[math]\frac{\pi}{5}[/math] - 1 )[br]            = 4[math]\times[/math]cos²[math]\frac{\pi}{5}[/math] - 1[br] et finalement : [b][2[math]\times[/math]cos[math]\frac{\pi}{5}[/math] ]² - [2[math]\times[/math]cos[math]\frac{\pi}{5}[/math]] - 1 [/b][b] = 0[/b][br][br][b][2[math]\times[/math]cos[math]\frac{\pi}{5}[/math]][/b] est donc le fameux [b]Nombre d'Or[/b], solution de l'équation : [b]x - 1 = 1/x [/b] [br] ,     ou encore : [b] x² - x - 1 = 0 [/b] ,[br]et qu'on peut construire facilement à la règle et au compas.[br][br]Puisque le Nombre d'Or vaut [math]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/math] , on en déduit que [b]cos[/b][math]\frac{\pi}{5}[/math] = [math]\frac{1+\sqrt{5}}{4}[/math][br][br]Cette propriété de [b]cos[/b][math]\frac{\pi}{5}[/math] permet de tracer simplement des [b]pentagones[/b] avec une règle et un compas.