Mutassuk meg, hogy a háromszög bármely két oldalának az összege nagyobb, mint a harmadik oldal.

[url=https://www.geogebra.org/m/E62bGZmh]Mint láttuk[/url] , a P-modellen nem tudjuk ránézésre megítélni a háromszög oldalainak a nagyságrendi viszonyait. Így a kérdésre -egyelőre - csak szerkesztéssel tudunk kielégítő választ adni.[br][br]Addig, amíg nem tudjuk (vagy nem akarjuk) "mérni" a szakaszok hosszát, fontos tisztáznunk, hogy mit értünk két szakasz összegén.[br][list][*][color=#9900ff][i]Két szakasz összegén[/i] azt a szakaszt értjük, amelyet úgy oszt két részre egy belső pontja, hogy e részek külön-külön egybevágók az összeadandó szakaszokkal.[/color][br][/*][/list]A célunk az, hogy tükrözésekkel a fenti módon egy egyenesre, egymás mellé illesszük az [i]a[/i] és [i]c[/i] oldalt. Ehhez először felvesszük a[i] B[/i] csúcshoz tartozó g belső szögfelezőt, majd az e csúcshoz tartozó külső szög [i]t[/i] szögfelezőjét, amely merőleges [i]g[/i]-re. Erre [i]C[/i]-t tükrözve [i]A, B[/i] és[i] C[/i] valóban egy egyenesre fog illeszkedni a kívánt módon. Összehasonlításként itt is az vizsgáljuk, hogy [i]C[/i] belül van-e az [i]A[/i] középpontú [i]a+c [/i]sugarú körön. (Megfigyelhetjük, hogy[i] c [/i]akkor illeszkedik az [i]s[sub]a+c[/sub][/i] körvonalra, ha [i]A, B, C [/i]egy egyenesre illeszkedik.)

Állapítsuk meg (rögzítsük a képernyőn) a csúcsaival adott [i]ABC[/i] háromszög oldalai közötti nagyságrendi viszonyt ‑ a szakaszok mérése nélkül. [br]

A P-modell saját eszköztára erre a vizsgálatra  egyszerű lehetőséget kínál: pl. ha az [i]A[/i] pontra illeszkedő [b]Hkör[B,A][/b] és [b]Hkör[C,A][/b] körök egyaránt metszik az[i] A [/i]csúccsal szemközti [i]a=(BC) [/i]oldalt, akkor  biztosak lehetünk abban, hogy a háromszög leghosszabb oldala [i]a,[/i] épp úgy, mint az euklideszi geometriában. [br][br]A háromszög minden oldalához két-két ilyen kört rajzolva elegendő összeszámolnunk az egy-egy oldalon kapott metszéspontokat. (Ezek itt rendre az [i]m[sub]a[/sub], m[sub]b[/sub], m[sub]c[/sub][/i] számok.) Így a szakaszok összemérése helyett elegendő a kapott metszéspontok száma szerint rendezni a háromszög oldalait. [br][br]A programkészítő számára legfeljebb a kapott eredmények kiírása jelent némi kihívást. Az alábbi programot letöltve megismerkedhetnek olvasóink néhány - talán másutt is alkalmazható - fogással.

Javasoljuk olvasóinknak, hogy a fenti appleten kapcsolják be a koordináta-rendszert és a négyzetrácsot, majd állitsák be az ABC háromszög csúcsait rendre a (0,0), (4,2), (4,-2) pontba. Mit tapasztalnak? Hogyan lehetne igazolni, vagy legalább az eszköztárunkkal megerősíteni a kapott sejtést?

A fenti sejtés lényegében egy elemi koordinátageometriai feladat. Erre a feladatra olyan elemi geometriai bizonyítást mutatunk be, amelyben nem használjuk a P-modell saját eljárásait. Tulajdonképpen a GeoGebrára sincs szükség, legfeljebb a szemléltetést segíti. [br][br]Mindazok, akik szeretik az igazán szép feladatokat önállóan megoldani, próbáljanak ellenállni a kísértésnek, és amíg nincs meg a saját megoldásuk, ne görgessék tovább a szerkesztési lépéseket.